Применение уравнений широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Уравнения человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Метод подстановки позволяет легко решить системы линейных уравнений любой сложности. Суть метода заключается в том, что, используя первое выражение системы, мы выражаем "у", а далее производим подстановку полученного выражения во второе уравнение системы вместо "у". Поскольку уравнение уже содержит не два неизвестных, а только одно, то мы легко находим значение этой переменной, а затем с ее помощью определяем значение второй.
Допустим, дана система линейных уравнений следующего вида:
\[\left\{\begin{matrix} 3x-y-10=0\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]
Выразим \
\[\left\{\begin{matrix} 3x-10=y\\ x+4y-12=0 \end{matrix}\right.\]
Выполним подстановку полученного выражения во 2 уравнение:
\[\left\{\begin{matrix} y=3x-10\\ x+4(3x-10)-12=0 \end{matrix}\right.\]
Найдем значение \
Упростим и решим уравнение с помощью открытия скобок и учета правил переноса членов:
Теперь нам известно значение \ Используем это для нахождения значения \
Ответ: \[(4;2).\]
Решить систему уравнений вы можете на нашем сайте . Бесплатный онлайн решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей групе Вконтакте.
Определение:
Системой уравнений называются несколько уравнений от одной или нескольких переменных, которые должны выполняться одновременно, т.е. при одинаковых значениях переменных для всех уравнений. Уравнения в системе объединяются знаком системы – фигурной скобкой.
Пример 1:
— система двух уравнений с двумя переменными x
и y
.
Решением системы являются корни . При подстановке этих значений уравнения превращаются в верные тождества:
Самым распространенным методом решения системы является метод подстановки.
Метод подстановки для решения систем уравнений заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить какую-либо переменную через другие, и подставить это выражение в остальные уравнения системы вместо выраженной переменной.
Пример 2:
Решить систему уравнений:
Решение:
Дана система уравнений и ее требуется решить методом подстановки.
Выразим переменную y
из второго уравнения системы.
Замечание:
«Выразить переменную» означает преобразовать равенство так, чтобы эта переменная осталась слева от знака равенства с коэффициентом 1, а все остальные слагаемые перешли в правую часть равенства.
Второе уравнение системы:
Оставим слева только y
:
И подставим (вот оттуда то и идет название метода) в первое уравнение вместо у
выражение, которому оно равно, т.е. .
Первое уравнение:
Подставим :
Решим это банальное квадратное уравнение. Для тех, кто забыл, как это делается, есть статья Решение квадратных уравнений. .
Итак, значения переменной x
найдены.
Подставим эти значения в выражение для переменной y
. Здесь получилось два значения x
, т.е. для каждого из них следует находить значение y
.
1) Пусть
Подставляем в выражение .
2) Пусть
Подставляем в выражение .
Все можно составлять ответ:
Замечание:
Ответ в этом случае следует записывать попарно, чтоб не перепутать, какое значение переменной y соответствует какому значению переменной x.
Ответ:
Замечание:
В примере 1 как решение системы указана только одна пара, т.е. эта пара является решением системы, но не полным. Потому, как решить уравнение или систему значит указать решение и показать, что других решений нет. А тут еще одна пара.
Замечание: Знак «» значит «равносильно», т.е. следующая система или выражение равносильно предыдущей.
Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Место урока в системе уроков: третий урок изучения темы “Системы двух линейных уравнений с двумя переменными”
Тип урока: изучения новых знаний
Образовательная технология: развитие критического мышления через чтение и письмо
Метод обучения: исследование
Цели урока: освоить еще один способ решения систем линейных уравнений с двумя переменными - способом сложения
Задачи:
В результате ученик:
Проблемный вопрос: “Как решить систему линейных уравнений с двумя переменными?”
Ключевые вопросы: Как и зачем мы используем уравнения в жизни?
Оборудование: презентация; мультимедийный проектор; экран; компьютер, рабочая тетрадь по алгебре: 7 класс: к учебнику А.Г. Мордковича и др. “Алгебра – 7” 2012 г.
Ресурсы (откуда берется информация по теме: книги, учебники, Интернет и т.д.): учебник “Алгебра – 7” 2012г., А.Г. Мордкович
Формы организации учебной деятельности учащихся (групповая, парно-групповая, фронтальная и т.д.): индивидуальная, частично фронтальная, частично парная
Критерии оценивания:
Области взаимодействия:
Ход урока
I. Организация урока
II. Проверка самоподготовки
a) № 12.2(б, в).
Ответ:(5; 3). Ответ:(2; 3).
Ответ: (4;2)
Выразите одну переменную через другую:
Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:
Самостоятельная работа:
В рабочей тетради стр. 46 – 47.
III. Актуализация опорных знаний
Что такое система линейных уравнений с двумя переменными?
Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения.
Что является решением системы уравнений с двумя переменными?
Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство.
Сколько решений может иметь система линейных уравнений с двумя переменными?
Если угловые коэффициенты равны, то прямые параллельны, корней нет.
Если угловые коэффициенты не равны, то прямые пересекаются, один корень (координаты точки пересечения).
Если угловые коэффициенты равны, то прямые совпадают, корень бесконечно много.
IV. Изучение нового материала
Заполни пропуски: Приложение 1 (с последующей самопроверкой по слайдам)
V. Работа по теме урока
В классе: №№ 13.2(а, г),13.3(а, г).
VI. Домашнее задание
Параграф 13 - учебник; словарь; № 13.2(б, в), 13.3(б, в).
VII. Итог урока
VIII. Решение задач на военную составляющую
Основной боевой танк Т-80.
Принят на вооружение в 1976 году. Первый в мире серийный танк с основной силовой установкой на базе газотурбинного двигателя.
Основные тактико-технические данные (ТТД):
Масса, т – 46
Скорость, км/ч – 70
Запас хода, км – 335-370
Вооружение: 125-мм гладкоствольное орудие (боекомплект 40 шт.);
12,7-мм пулемет (боекомплект 300 шт.);
7,62-мм пулемет ПКТ (боекомплект 2000 шт.)
Сколько времени может находиться в движении танк Т-80 без дозаправки?
Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:
{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2
Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.
Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:
1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).
2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.
3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.
4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.
5. Выполнить проверку полученного решения.
Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.
Пример 1. Решить систему уравнений:
{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18
Решение:
1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);
2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;
3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;
4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;
5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.
{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;
{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;
{12 =12;
{-18=-18;
Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.
Давайте разберемся, как же решать системы уравнений способом подстановки?
1) Выразим из первого или второго уравнения системы неизвестное х или у (как нам удобнее);
2) Подставим в другое уравнение (в то, из которого не выражали неизвестное) вместо неизвестного х или у (если выражали х , подставляем вместо х ; если выражали у , подставляем вместо у ) полученное выражение;
3) Решаем уравнение, которое получили. Находим х или у;
4) Подставляем полученное значение неизвестного и находим второе неизвестное.
Правило записано . Теперь давайте попробуем применить его при решении системы уравнений.
Пример 1 .
Внимательно посмотрим на систему уравнений. Замечаем, что из первого уравнения легче выразить у .
Выражаем у :
–2у = 11 – 3х
у = (11 – 3х)/(–2)
у = –5,5 + 1,5х
Теперь аккуратно подставим во второе уравнение вместо у выражение –5,5 + 1,5х.
Получим: 4х – 5(–5,5 + 1,5х) = 3
Решаем это уравнение:
4х + 27,5 – 7,5х = 3
–3,5х = 3 – 27,5
–3,5х = –24,5
х = –24,5/(–3,5)
Подставляем в выражение у = – 5,5 + 1,5х вместо х значение, которое мы нашли. Получаем:
у = – 5,5+ 1,5 · 7 = –5,5 + 10,5 = 5.
Ответ: (7; 5)
Интересно, а если выразить из первого уравнения не у , а х , измениться ли ответ?
Давайте попробуем выразить х из первого уравнения.
х = (11 + 2у)/3
Подставим вместо х во второе уравнение выражение (11 +2у)/3, получим уравнение с одним неизвестным и решим его.
4(11 + 2у)/3 – 5у = 3, умножим обе части уравнения на 3, получим
4(11 + 2у) – 15у=9
44 + 8у – 15у = 9
–7у = 9 – 44
у = –35/(–7)
Находим переменную х, подставляя 5 в выражение х = (11 +2у)/3.
х = (11 +2·5)/3 = (11+10)/3 = 21/3 = 7
Ответ: (7; 5)
Как видите, ответ получился такой же . Если вы будете внимательны и аккуратны, то независимо от того, какую переменную вы выражаете – х или у , ответ получите правильный.
Довольно часто ученики спрашивают: «Есть ли еще другие способы решения систем, кроме сложения и подстановки? »
Есть некоторое видоизменение способа подстановки – способ сравнивания неизвестных .
1) Надо из каждого уравнения системы выразить одно и то же неизвестное через второе.
2) Полученные неизвестные сравнивают, получают уравнение с одним неизвестным.
3) Находят значение одного неизвестного.
4) Подставляют полученное значение неизвестного и находят второе неизвестное.
Пример 2 . Решить систему уравнений
Из двух уравнений выразим переменную х через у .
Получим из первого уравнения х = (13 – 6у) / 5, а из второго х = (–1 – 18у) / 7.
Сравнивая эти выражения, получаем уравнение с одним неизвестным и решаем его:
(13 – 6у) / 5 = (–1 – 18у) / 7
7 (13 – 6у) = 5 (–1 – 18у)
91 – 42у = –5 – 90у
–42у + 90у = –5 – 91
у = – 96 / 48
Неизвестное х найдем подставив значение у в одно из выражений для х .
(13 – 6(– 2)) / 5= (13+12) / 5 = 25/5 = 5
Ответ: (5; –2).
Думаю, что и у вас все получиться. Если остались вопросы, приходите ко мне на уроки .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
