Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной. //В 1972 году Нобелевскую премию по экономике присудили американскому математику Кеннету Эрроу за исследование «Социальный выбор и индивидуальные ценности». Под таким скромным названием в наш мир вошло сенсационное открытие, положившее конец мечтам об идеальной демократии. Выделив пять непременных условий демократическиx выборов как механизма выявления воли большинства избирателей, Эрроу доказал: в принципе невозможна избирательная система, в которой не нарушалось бы, по крайней мере, одно из этих условий! Это открытие произвело впечатление разорвавшейся бомбы. «Оказывается, лучшие умы человечества занимаются поисками химеры, зиждущейся на внутреннем логическом противоречии исходных принципов, - писал один из тогдашних обозревателей. - Теперь учёные во всем мире пытаются спасти то, что может быть спасено от разрушительного открытия Эрроу, занявшего в математической политологии такое же место, какое занимает в математической логике открытая Куртом Гёделем в 1931 году теорема о невозможности построения непротиворечивой математической теории, содержащей аксиомы арифметики...». Справедливости ради заметим: американец сделал своё открытие не на пустом месте. С дефектами демократической системы выявления воли большинства путём подсчёта голосов столкнулся в XVIII веке маркиз Кондорсе (1743-1794 гг.), философ, математик и политический деятель, казнённый во время Французской революции. Позднее так называемый парадокс Кондорсе переоткрыл на материалах выборов в Оксфордском университете Льюис Кэрролл. В 1940-х годах подобным же наблюдением озадачил политиков английский экономист Л. Блэк, исследовавший эффективность принятия решений во всякого рода комитетах. Открытие Эрроу прояснило вопрос, но не облегчило практические поиски разрешения тупиковых ситуаций. Теперь эксперты гадают, от какого из пяти условий можно отказаться, не развалив существующие системы голосования. Тем временем другие специалисты обращаются к историческому опыту. Ведь народы мира, далекие от понимания математических тонкостей, давно нашли практические пути разрешения тупиковых ситуаций, порождаемых играми в демократию. На место запутавшихся в неувязках парламентариев народы всегда выдвигали диктаторов, которые своей единоличной властью исполняли требования жизни. Но вот вопрос: как приводить к власти такого диктатора? Специалисты по принятию решений (оказывается, на 3ападе есть такие!) рекомендуют диктатора избирать демократическим путём. Но ведь это очередная логическая нелепица! Диктаторов голосованием не избирают. Они приходят сами, но при всенародном одобрении... //КОРНЕЙ АРСЕНЬЕВ, «За семью печатями», N7, 2005 г.

Итак, Теорема невозможности Эрроу //ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ТРИЗ Consulting Project// За теоремой Эрроу, доказывающей невозможность демократических выборов без элементов диктатуры, скрываются более сложные проблемы, нежели поиск новой математической модели голосования.

Наткнувшись на «теорему невозможности» К.Дж. Эрроу, невозможно было удержаться от того, чтобы, как выразился один знакомый, не «поточить об неё рога». Суть её в том, что способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Самая правильная система выборов в самом демократичном обществе способна привести к ситуации равновесия предпочтений голосующих, которая неразрешима демократическими средствами, а диктаторские недопустимы по определению. Теорема описана и комментируется так, как будто она – краеугольный камень демократии (чтобы читатель не утруждал себя поиском источника – см. Приложение 1). То есть, Эрроу математически доказывает, что реальная демократия не может быть полной.

Но действительно ли идеал демократии сводится к математической модели процедуры голосования, избавленной от произвольности, безвыходных положений и неравноправия? Или это просто красивая теория, не имеющая отношения к реальности? Действительно ли демократия исключает произвол или неравноправие? Увы, не исключает даже теоретически. Например:

1. Не все признаются гражданами.

4. Значимость одних и тех же критериев у разных граждан всегда будет различаться, равно как и осведомлённость о соответствии кандидатов этим критериям. Отсюда следует неравная компетентность избирателей при равном «весе» их голосов.

5. Принципы демократии распространяются лишь на очень небольшую часть общественных отношений даже в самых образцово-показательных государствах, считающихся эталонами демократии, да и то лишь в ограниченное время в особых ситуациях. Во всём остальном предпочтение отдаётся диктатуре, явной или косвенной. Реальная демократия предусматривает не только равные права, но и неравные возможности в большей части областей жизни общества. Американцы, столь ревностно относящиеся к своим демократическим правам, равнодушны к разнице между выборами президента промышленной корпорации и президента «корпорации Америка».

Если разобраться по существу, аксиомы Эрроу есть сами по себе диктаторские правила голосования. Ограничения на число кандидатов и по их квалификации тоже вводятся вполне диктаторски. Как бы демократично не избирали парламент, но законы он будет вводить вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей. По существу это означает необходимость переосмыслить понятие демократии.

Демократия – это выборы лучшего кандидата на роль руководителя какого-то проекта. Тем самым подразумевается, что в обществе существует определённое неравенство в отношении способностей руководить этим проектом. Возникает вопрос: могут ли те, кто разбирается хуже (прямо скажем, совсем не разбираются, судя по опыту с «кухарками»), выбрать того, кто разбирается лучше? А если не могут, то чего стоит их мнение и зачем вообще нужен выбор? Если граждане различаются по способности оценивать истинные критерии, то они должны различаться и по «весу» своего голоса. Эрроу не рассмотрел эту ситуацию: выбор должен производиться людьми, компетентными в работе, которую предстоит выполнять избранному, а избиратели таковыми не являются по определению. Следовательно, они не в состоянии оценивать по истинным критериям пригодность кандидата. Отсюда следствие: право избирать должно быть уравновешено способностью оценивать. Не зря ведь в самых демократически продвинутых государствах часть категорий граждан не допускается к выборам по ряду причин. Например, дети: они слишком, видите ли, некомпетентны по сравнению со взрослыми (как будто немалая часть тех более компетентна). Да и не существует естественная чёткая граница между имеющими право голосовать и не имеющими. Граница проводится вполне диктаторски, не спрашивая мнения избирателей.

Или вот, скажем, президентом США можно быть лишь два срока, а президентом Федеральной резервной системы США – пять. А ведь несколько слов последнего, оброненных в разговоре, имеют куда более серьёзные последствия.

Ради пущей демократии признано целесообразным существование института пожизненных судей с сугубо диктаторскими полномочиями. В том смысле, чтобы политическая конъюнктура не влияла на их профессионализм. Можно подумать, что те судьи живут на Луне. А разве другие государственные люди не должны проявлять свой профессионализм так же независимо?

Вспомним реликтовую уже форму демократии – непосредственную, типа вече. Она предусматривала равноправие граждан при решении общих для них вопросов (теоретически, по крайней мере). Современная демократия (впрочем, ещё с античных времён) ограничила их равноправие всего одним вопросом: выбором тех, кто эти вопросы будет решать. И, соответственно, одним формальным вопросом: процедурой голосования. Закономерен вопрос: а действительно ли т.н. выборная демократия есть власть народа? Вполне очевидно, что власть принадлежит тем, кому она принадлежит, а народ служит лишь в качестве одного из аргументов в споре претендентов на первые роли.

Но не будем особо заглубляться в политику, хотя обсуждаемая тема сама по себе – сплошная политика. Если рассмотрим проблему по существу, то увидим, что на самом деле теорема Эрроу представляет собой лишь расширенный и усложнённый вариант «буриданова осла» - задачи, которая в абстрактной форме не имеет решения, ибо она и сформулирована так, чтобы не иметь решения: если А=Б, то и Б=А.

Теорема Эрроу отличается лишь тем, что вместо одного осла имеем целое стадо равноправных ослов, а вместо двух стогов – несколько. По условиям игры ослы должны демократически проголосовать, к какому стогу сена идти (а идти должны все вместе). Конечно, вероятность тупика при выборе альтернатив у стада ослов меньше, нежели у одного осла. Но это несущественно, так как имеет значение лишь сама возможность возникновения неопределённости.

Собственно говоря, набор аксиом потребовался математику Эрроу лишь для того, чтобы принудить стадо ослов при оценке альтернатив вести себя как один осёл. То есть, Эрроу тщательно выписал правила, по которым равновесное (критическое) распределение равноправных голосов ослов будет не менее вероятно, чем любое иное. Поэтому вероятность возникновения равновесия между альтернативами сохраняется, как если бы размышлял лишь один осёл, оценивая варианты с разных точек зрения (при равенстве оценок по разным критериям). Эрроу доказал, что выйти из равновесия можно только диктаторскими методами. Иначе говоря: если один осёл будет «несколько более равным», чем другие. Но шестая аксиома воспрещает одному из ослов диктаторски махнуть копытом на демократию и повести за собой стадо к ближайшему к нему стогу (все ослы ведь не могут поместиться в точке), выведя из демократического оцепенения остальных ослов. Или просто пойти туда, куда левая нога захочет.

На самом деле и диктатура сама по себе не есть решение проблемы выбора: что с того, что выбирать между равноценными альтернативами придётся не стаду ослов, а одному ослу, пусть и самому крутому? Один осёл – он сам себе диктатор. Проблема не в голосовании как таковом, а в выборе среди альтернатив, равноценных по какой-то группе критериев .

В реальности живой осёл (как и любое иное живое существо, кроме человека) ни на секунду не замешкается, так как природа встроила в него механизм нарушения равновесия между равными предпочтениями: осёл пойдёт налево. У человека тоже есть такой механизм, но его действие можно увидеть лишь изредка. Например, если человек, оказавшись без компаса в густом тумане, попытается идти прямо, то в действительности он будет идти по дуге.

Указанный выше механизм («диктаторский») у осла и есть способ разрешения парадокса путём выхода за пределы навязываемых им условий.

Почти тоже самое решение предлагал Паркинсон, весьма подробно рассмотревший проблему выбора. В ситуации, когда, по мнению экспертов, ни один из претендентов не обладает перевесом, следует ввести ещё один критерий выбора. Например, спросить у секретарши, какой претендент ей больше нравится. В сущности, так поступает любой человек: столкнувшись с выбором между равноценными альтернативами, он принимается за поиски их признаков, которые можно было бы привлечь в качестве дополнительных критериев оценки и выбора. Но любые дополнительные критерии, используемые после голосования, есть, по Эрроу, проявление диктатуры.

Ситуация хорошо описана в теории катастроф: в критической ситуации (в точке бифуркации) равновесие может нарушить любой незначительный фактор, который в других ситуациях не учитывается. Но Эрроу полагает, что список критериев (факторов) конечен и не может быть произвольно дополнен «после того». Диктатором, естественно. Незначительность дополнительного фактора делает его эквивалентом монетки, используемой для выбора между двумя равноценными альтернативами.

Как всякая теоретическая модель, процедура голосования по Эрроу имеет ограниченное число переменных факторов, при которых она всегда имеет шанс придти к состоянию равновесия. В реальности же число факторов неограниченно и любой эн плюс первый фактор обязательно выведет систему из эн факторов из равновесия. Эрроу посчитал, этот дополнительный фактор обязательно будет диктаторским, во-первых, и что это плохо, во-вторых.

Вряд ли Эрроу не знал, что для разрешения парадокса необходимо выйти за рамки его условий. Вот он 6-й аксиомой и запретил этот выход (из вредности, что ли). Но есть ещё вход: для разрешения парадокса можно прибегнуть к устранению условия его возникновения. В данном случае таковым условием пересмотр пяти его аксиом . Иначе говоря, вполне возможным представляется пересмотр понимания термина «демократия». Вряд ли кто будет спорить с тем, что содержание этого понятия (как и любого иного) со временем меняется.

Всякий специалист ТРИЗ знает, что лучше устранить причину возникновения проблемы, чем бороться с её последствиями, как это предложил Эрроу (другим, естественно). Проще говоря, надо ещё до выборов исключить возникновение патовой ситуации. Такие подходы практикуются не только среди ослов, но и, например, в виде непропорционального представительства в парламенте, когда партия, получившая относительное большинство голосов, получает абсолютное большинство мест. Ещё вариант, совсем не демократический: отстрел, подкуп, шантаж, давление. Но и это не радикальное, тем более – не демократическое, решение: даже в этих условиях возможна патовая ситуация.

Главное в стаде ослов ведь не система подсчёта голосов как таковая. В конце концов, можно придумать кучу приёмов, позволяющих если не избежать, то, хотя бы, выйти из тупикового положения. Например, заимствовав что-то из спорта. В шахматах ничья означает проигрыш претендента и сохранение короны у прежнего чемпиона. Или взять на вооружение яхтенный аналог – гонки с гандикапом. Но это спорт.

В стаде же главное – вовсе не правильный подсчёт очков. В политике, как и в бизнесе, всё решают три фактора: энергия лидера, идея и организация . Можно ли вообще только с помощью сколь угодно изощрённой процедуры подсчёта достаточно достоверно установить наличие этих факторов? И, главное, оценить качество этих факторов?

Если продолжать вполне корректную аналогию с бизнесом, то какой продукт толкают потребителю? И кто потребитель?

Выборы – это тоже бизнес, на котором в роли покупателей выступают финансово-промышленные группы, обладающие определёнными интересами и, главное, деньгами («что хорошо для Дженерал Моторс, то хорошо для Америки»). В роли продавцов – политики и их фирмы (политические партии). Они отвечают за изготовление и поставку товара – организацию (структурирование) электората и преобразование его в голоса. Количество нужных голосов – к.п.д. обработки. Ну, а технология обработки предопределяется характеристиками ослов (сырья). В этом смысле правила подсчёта голосов – это лишь правила прозрачности, корректности подсчёта эффективности политического бизнеса.

Отсюда проблемы демократии, с тревогой отмечаемые большинством европейских социологов: каждый избиратель вынужден думать сам о себе и не иначе. А если каждый думает только о себе, то ничего большого построить не удастся. Люди становятся мелочными. Как недавно заявил некий бизнес-консультант по вопросам телевидения, такие как он, не будут воевать ни за Европу, ни за родную Голландию.

Вспомним 11-е сентября 2002 г. и его последствия в виде существенного ограничения прав и свобод американцев «ради безопасности». Вспомним также высочайший уровень преступности в США. Так вот, лёгкость и скорость, с какой американцы пошли на ограничения своих прав, наводят на мысль, что все эти «демократические ценности» не являются такими уж органично свойственными людям. Свобода и независимость, столь органично присущие двести лет назад американским переселенцам (и основанные, кстати, на наплевательском отношении к таким же правам негров и индейцев), оказались малопригодными для жизни больших, плотных сообществ.

Демократический централизм, изобретённый при социализме, – это, конечно, плохо. Если правящая команда сама определяла, кто пополнит её ряды, и кого из себя выдвинуть, то участие прочего населения было декоративным. Но сейчас парламентарии сами устанавливают правила, по которым новички могут пополнить их ряды и за избирателями остаётся лишь право проголосовать за них. А равное право быть избранным как было, так и осталось фикцией. При достаточной консолидации парламентариев и близких к ним возникает вполне демократически избираемая диктатура. Как Гитлер, например.

Красная революция в Германии и коричневая во Франции после 1-й Мировой войны были подавлены сугубо диктаторскими методами. Зато коричневая революция в Германии была реализована по всем канонам демократических выборов. В сегодняшней Турции голосуют вполне демократически, но если в итоге будут избраны лидеры фундаменталистской ориентации, последует военный переворот, и их сбросят. Демократически выбранный Альенде в Чили вполне диктаторски был убит Пиночетом при поддержке демократичных США.

Конечно, эти соображения не снимают проблемы Эрроу: как быть, если возникла неопределённость? Как быть, если одна половина ослов хочет идти направо, а другая – налево? Но вопрос переносится в иную область: неопределённость эта есть следствие неопределённости с долгосрочными интересами различных финансово-промышленных групп. И, следовательно, проблема в определении этих интересов, зависящих от достоверности прогнозов эволюции страны в целом и, соответственно, разработки средств коррекции неблагоприятных тенденций. Страна одна и поэтому разброс рецептов, равно как и взаимоисключающие рецепты, говорит лишь о некорректности анализа ситуации. Ситуация, знакомая специалистам ТРИЗ по задачам в технической области: неопределённость свидетельствует о низком качестве существующих инструментов решения социальных задач в масштабе государства.

Здесь имеет место не только равенство альтернатив по всем критериям, а и равенство суммарной оценки этих критериев (что, впрочем, не исключает и полного равенства). То есть, голосующим ослам предлагается не идентичные стога как таковые, а выбор направления эволюции стада ослов. Направления эти уже в принципе не могут быть одинаковыми с точки зрения приспособления к грядущим изменениям внешней среды. Скажем, к правому стогу вроде бы движется другое стадо ослов, у левого – наблюдаются некоторые признаки присутствия местного авторитета из семейства кошачьих, а возле среднего поблескивает что-то подозрительно похожее на оптический прицел. Достоинства стогов очевидны, а недостатки – вероятностны и известны рядовым ослам лишь со слов лидеров партий, располагающих всегда неполными разведданными и результатами их анализа. Соответственно, результат голосования и дальнейшая судьба ослов также становятся вероятностными. Иначе говоря, практического смысла демократизм голосования не имеет . Любой вариант хорош, но и чреват. И только если не повезёт, с лидера спросят. Если будет кому и с кого.

Здесь становится очевидной функция выборов как формы обратной связи в гомеостазе социума в условиях неопределённости. Выглядит это как сопоставление прошлого состояния стада с настоящим. И лишь немного – плана и факта. А может ли вообще эта функция быть достаточно эффективной? Если учесть, что ослов объединяет в одно целое лишь общий и поэтому, как правило, простейший фактор, то не может. Особенно в вечевой форме. Парламент не так уж и отличается от вече. Разве что профессионализмом и процедурой. Временной горизонт его видения вперёд – один срок. И опять упираемся в отсутствие инструментов ухода от «метода» проб и ошибок в больших социальных группах, которые, впрочем, плохо наработаны и на уровне малых групп – предприятий (компаний, фирм, корпораций, организаций).

Хороший индикатор неопределённости и, соответственно, качества политических инструментов, это количество партий. Если в государстве существует полсотни партий и десяток фракций (депутатских групп), что хорошего можно сказать об определённости в отношении «вектора развития» такого государства? Правда, и наличие всего одной партии тоже ещё не говорит о том, что она располагает необходимым инструментарием. Думать же, что отсутствие такового можно заменить математическими приёмами, наивно. Или лицемерно. Разве что Эрроу так пошутил. Не случайно же символом демократической партии США выбран именно осёл.

Итак, проблема: теория социума.

Королёв В.А. г. Киев 2004.05.09

Приложение 1

Справка о теореме невозможности Эрроу (Кеннет Джозеф)

Наибольшую известность принесла Эрроу его первая книга «Социальный выбор и индивидуальные ценности» (Social Choise and Individual Values), опубликованная в 1952 году. В ее основу была положена его докторская диссертация. Опираясь на предшествующие работы в этой области П. Самуэльсона и экономиста из Гарварда А. Бергсона, Эрроу пытался сформулировать условия, при которых из индивидуальных предпочтений рациональным или демократическим путем могут быть выведены групповые решения.

Эрроу пришел к выводу, «что социальная функция выбора, выражающая связь между индивидуальными предпочтениями и социальным выбором, должна отвечать четырем требованиям: переходности (если социальный выбор А предпочтительней, чем выбор Б, а выбор Б - чем выбор С, то выбор А предпочтительней, чем выбор С); эффективности по Парето (альтернативное решение не может быть выбрано, если при этом существует другая реализуемая альтернатива, улучшающая жизнь некоторых членов общества и не ухудшающая ничьих условий жизни); отсутствию диктатуры, навязывающей свои предпочтения всему обществу; независимости посторонних альтернатив (выбор между А и Б остается неизменным, если вводится третий, логически допустимый, но неосуществимый вариант С)». Эрроу показал, что все четыре условия внутренне противоречивы и противоречат также друг другу, откуда следовало, что ни одна социальная функция выбора не может соответствовать всем требованиям одновременно. Подробнее об этом написано ниже.

Социальный выбор и индивидуальные ценности.

Кеннет Эрроу начал проводить аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования. Он выдвинул пять аксиом, которым должна удовлетворять любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение, и доказал, что единственные процедуры, которые отвечают всем этим аксиомам, сосредоточивают всю власть в руках одного индивидуума. Нельзя найти метод, удовлетворяющий всем аксиомам Эрроу, который не был бы диктаторским - и не за недостатком изобретательности, а потому что такого не существует. Эта работа была в числе тех, за которые он получил Нобелевскую премию.

В течение последних 30 лет ученые не переставали исследовать аксиомы Эрроу в попытке обойти его «теорему невозможности», стремясь ослабить сформулированные им требования. Эта проблема вызвала широкий интерес, поскольку она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук.

Перед философами она встает при анализе практического значения утилитаризма - этической доктрины, утверждающей, что правильность действий зависит от их последствий для народного благоденствия, и требующей найти метод для объединения индивидуальных предпочтений.

Ученые, занимающиеся общественными науками, встречают эту проблему при определении или оценке правил голосования для комитетов или законодательных органов.

Экономисты сталкиваются с ней при изучении нормирования и других нерыночных методов распределения ресурсов. Эта задача очень важна при нормативных экономиках, поскольку при определении допустимых границ вмешательства правительства в сферу деятельности свободного рынка решающим является понимание потенциального спектра альтернатив вплоть до полного невмешательства.

Принцип большинства голосов заслуживает, чтобы его рассмотрели в первую очередь среди процедур объединения индивидуальных предпочтений. В числе его достоинств - простота, равноправие и весомость, обусловленная традицией. По существу принцип большинства - это процедура сопоставления пар кандидатов или альтернатив. Однако при сопоставлении более двух альтернатив принцип большинства сталкивается с трудностью, на которую ещё 200 лет назад указал маркиз Кондорсе.

Отмеченная Кондорсе трудность ныне известна под названием «парадокса голосования». Предположим, что комитет, состоящий из Тома, Дика и Гарри, должен расположить в порядке предпочтения трех кандидатов А, Б, С. Том располагает их А, Б, С, Дик - Б, С, А, а Гарри - С, А, Б. Подсчет голосов по принципу большинства для выбора из пар кандидатов приводит к циклу: А побеждает Б, Б побеждает С, а С побеждает А - все двумя голосами против одного. Этот цикл - простейший пример парадокса голосования Кондорсе.

Когда возможно более двух альтернатив, нужен новый принцип для проведения выборов из попарных упорядочений. Конфигурации предпочтений, которые приводят к парадоксу голосования, создают трудность при каждом естественном подходе. Простейший метод состоит в выборе альтернативы, которая не побивалась бы никакой другой. Однако при наличии парадокса голосования такой альтернативы не существует, поскольку каждая альтернатива, или кандидат, проигрывает какой-либо другой.

Второй способ перехода от попарного упорядочения к выборам состоит в определении последовательности, в которой берутся пары альтернатив. Например, последовательность может предусматривать вначале голосование за А или Б, а затем за победившего кандидата или С. При этой последовательности комитет, состоящий из трёх членов, вначале проголосует за А против Б, а на втором этапе С победит А. Легко проверить, что при любой из трех возможных последовательностей в этой ситуации альтернатива, рассмотренная последней, победит: последовательность предопределяет результат. Таким образом, циклы голосования представляют собой трудность не только внешне, но и по существу. Когда случается цикл, выбор окончательного победителя в лучшем случае произволен (если последовательность выбрана произвольным образом), а в худшем случае определяется махинациями того, кто задает последовательность.

Другие возможности для стратегических маневров возникают, когда голосующий может изменить последовательность голосования введением новых альтернатив. Предположим (при том же самом комитете), что С представляет собой статус-кво, а Б - альтернативу, образовавшуюся в результате внесения предложения. При этих двух возможных альтернативах Б победит С, и Гарри (который предпочитает кандидата С кандидату Б) будет разочарован. Однако если он сможет внести поправку А к предложению Б, то А победит Б при первоначальном голосовании, а на втором этапе А проиграет С. Таким образом, Гарри добьётся принятия предпочитаемой им альтернативы.

Даже если нельзя ввести новые альтернативы, а последовательность невозможно изменить, голосующие могут воспользоваться в своих целях неправильным представлением своих предпочтений. Снова рассмотрим последовательность, при которой С берется в последнюю очередь. Если каждый член комитета голосует в соответствии со своим истинным предпочтением при каждом голосовании, выигрывающая альтернатива С стоит на последнем месте среди предпочтений Тома. Предположим, однако, что Том голосует за Б вместо А в первоначальном голосовании, тогда Б побеждает, побивая С на втором этапе. Таким приемом он заблокировал выбор альтернативы, которая ему нравилась меньше всего.

Аксиоматический подход Эрроу.

Циклические коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в примере выше, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив.

По необходимости Эрроу вместо этого выбрал аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор «конституции», т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, лишней или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные.) Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам.

Первая аксиома Эрроу.

Универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры.

Вторая аксиома Эрроу.

Это аксиома единогласия. Управляет действием конституции, когда нет согласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений.

Третья аксиома Эрроу.

Независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений А и Б остается неизменным, коллективное упорядочение А и Б так же не меняется.

Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях не представленных альтернатив для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения А и Б и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении А и Б.

Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условия независимости. (Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, и передачи информации комментаторами по телефону.)

Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам.

Предположим, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с А, Б, С на А, С, Б. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения А и Б, описываемая процедура теперь коллективное упорядочение А по отношению к Б, поскольку А по-прежнему получает шесть баллов, а Б получает пять баллов.

Четвертую и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения.

Р - строгое коллективное предпочтение (аналогичное отношению «больше» между парой действительных чисел).

М - коллективное безразличие (аналогичное равенству).

Н - отношение слабого коллективного предпочтения (аналогичное отношению «больше или равно»).

Таким образом, выражение АнБ означает «А коллективно по меньшей мере так же хорошо, как Б», т.е. либо АрБ, либо АмБ.

Четвертая аксиома Эрроу.

Аксиома полноты: для каждой пары альтернатив А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (либо оба вместе; в этом случае А и Б безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является, по-видимому, относительно безобидным требованием.

Пятая аксиома Эрроу (н-транзитивность).

Она требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивно: формально если АнБ и БнС, то АнС. Примеры транзитивных отношений над парами действительных чисел: «больше» (>), «равно» (=) и «больше или равно» (>=). Так, если число А больше, чем Б, и Б больше, чем С, то А должно быть больше, чем С. В экономических исследованиях полнота и н-транзитивность являются условными соглашениями и индивидуумы, чьи предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, называются «рациональными». Эрроу расширил это понятие до понятия «коллективная рациональность» для описания конституций, удовлетворяющих аксиомам полноты и н-транзитивности. Он ввел р-транзитивность для обеспечения независимости выбранной альтернативы от последовательности, т.е. пути которым она достигается.

Р-транзитивные конституции - это такие правила голосования, при которых из АрБ и БрС следует АрС. Все такие конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, нейтральны, т.е. они упорядочивают пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность означает, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив U и V следует, что U коллективно предпочитается V, то из той же конфигурации упорядочений А и Б следует, что А коллективно предпочитается Б. Описывается доказательство этого факта для двух голосующих. Предположим что для альтернатив U и V Энн преобладает над Биллом при этой конституции, если она U предпочитает V. Альтернативы А и Б они упорядочивают по-разному. Для такой конфигурации по аксиоме единогласия Эрроу АрU, по предложению, что Энн преобладает над U против V, UрV и в силу аксиомы единогласия VрU. При р-транзитивности следует, что АрБ для этой частной конфигурации предпочтения. Аксиома независимости Эрроу, однако, позволяет сделать более общее заключение, чем то, что Энн преобладает для А против Б, независимо от позиций U и V в ее упорядочении или упорядочении Билла. (Аксиома независимости устанавливает, что коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих двух альтернатив.)

Определив и обосновав эту систему пяти желательных свойств, Эрроу доказал, что единственные конституции, удовлетворяющие всем этим свойствам, обладают простым и удивительным недостатком: каждая из них является правилом диктатора. Диктатор - это личность, обладающее властью навязывать обществу свое строгое предпочтение для любой пары альтернатив. Эрроу сформулировал свою теорему в несколько иной форме. Он добавил шестую аксиому, об отсутствии правила диктатора, и доказал, что не существует конституции, которая удовлетворяла бы всем шести аксиомам. По этой причине вывод Эрроу часто называют «теорема невозможности».

Таким образом, составителю процедуры голосования для законодательных органов, комитетов и клубов, который принимает эти условия в качестве необходимых свойств конституции, просто не везет. Внешние скромные требования Эрроу имеют веские и неприятные последствия. Как показывает его теорема невозможности, пять этих свойств очень ограничительны; хотя они и привлекательны по отдельности, в комбинации они пагубны. Теоретики, исследующие процедуры голосования, приложили немало усилий для пересмотра этих аксиом в поисках обходного пути, чтобы избежать неудобных выводов Эрроу.

Вполне оправданным считается довод, что аксиома универсальности слишком претенциозна. Не все логически возможные конфигурации упорядочения предпочтений являются одинаково вероятными. Поскольку некоторые конфигурации могут быть крайне неправдоподобными, требование, чтобы конституция непротиворечиво объединяла все логически возможные конфигурации для получения коллективного упорядочения, по-видимому, чрезмерно сильное. Наиболее распространенная стратегия для ослабления этого требования состояла в том, чтобы, сосредоточившись на какой-нибудь частной процедуре, например, принципе большинства, поискать ограничения, которые исключают те конфигурации предпочтения, из которых следует нетранзитивное коллективное предпочтение. Например, если могут возникнуть лишь те конфигурации предпочтений, в которых нет разногласий между индивидуумами, то аксиома универсальности определяла бы коллективные предпочтения и проблема нетранзитивности не могла бы возникнуть. Хорошо известное нетривиальное ограничение, обнаруженное в 40-е годы английским экономистом Данкэном Блэйком, состоит в том, что выбор производится согласно единственному критерию. В этом случае при любом попарном выборе каждый индивидуум голосует за альтернативу, наиболее близкую к его излюбленной позиции. Например, каждый избиратель может упорядочить кандидатов в соответствии с тем, насколько близко они находятся к его собственной позиции в политическом спектре от либерализма до консерватизма. Таким образом, если кандидат А более либерален, чем Б, а Б либеральнее, чем С, общество с единственным критерием выбора, содержащее либералов (А, Б, С), консерваторов (С, Б, А) и умеренных (Б, А, С или Б, С, А), не должно содержать индивидуумов, для которых средняя альтернатива расположена за двумя крайними (А, С, Б и С, А, Б). Если можно ожидать на практике единственность критерия, то этот случай хорошо подчиняется принципу большинства. Однако обычно избиратели упорядочивают кандидатов в соответствии со многими критериями, и поэтому случай одного критерия не осуществляется.

В более общем случае стратегия наложения ограничений на конституции может быть успешной, только если эти ограничения правдоподобны в смысле теории образования предпочтений или теории предпочтений. Однако специалисты в области общественных наук не преуспели в деле формального моделирования роли социализации в развитии вкусов и системы ценностей, а также степени близости предпочтений, необходимой для социальной стабильности.

Таким образом, несмотря на значительные усилия, еще не сформулированы характеристики возможных способов упорядочения, достаточно широкие, чтобы охватить реальные предпочтения избирателей, и в то же время достаточно узкие, чтобы избежать выводов о правиле диктатора.

Возможность отказаться от аксиомы единогласия не вызвала большого энтузиазма. При практическом пересмотре аксиома единогласия кажется довольно слабым требованием, налагаемым на механизм объединения индивидуальных предпочтений для образования коллективного предпочтения. Роберт Уилсон из Стэнфордского университета показал, что единственная дополнительная конституция, удовлетворяющая всем аксиомам Эрроу, кроме аксиомы единогласия, еще менее привлекательна, чем правило диктатора. В частности, появляются две новые возможности. Первая возможность - это всеобщее безразличие, правило, согласно которому любая пара альтернатив постоянно безразлична относительно того, как индивидуумы их упорядочивают. Вторая возможность - это «диктатура наизнанку», правило, при котором за коллективное упорядочение принимается некоторое обратное упорядочение индивидуальных предпочтений. Этот метод окажется полезным организованному обществу, только если найдется избиратель с безусловно плохим суждением.

Аксиома независимости вызвала на себя сильный огонь критики в первое десятилетие после того, как Эрроу опубликовал свои результаты, но сейчас критика этой аксиомы утихла. Оригинальное обоснование Эрроу этого условия состояло в том, что конституции, удовлетворяющие ей, могут быть приняты без предварительного сбора огромной информации о предпочтениях. Чтобы упорядочить альтернативы А и Б, нет нужды уточнять позицию С в индивидуальных упорядочениях. Конституции, которые нарушают эту аксиому, обычно очень громоздки, по крайней мере, в случае, когда имеется много альтернатив, поскольку надо получить много информации о предпочтениях, чтобы упорядочить даже небольшое число вероятных альтернатив. Кроме того, поскольку на коллективном упорядочении А и Б при конституции, в которой нарушена эта аксиома, отражаются индивидуальные упорядочения третьей альтернативы, часто избиратели могут воздействовать на результаты относительно А и Б посредством неправильного представления своих предпочтений относительно других альтернатив.

«Теоремы невозможности», начало которым положило знаменитое предположение Эрроу, определяют ограничения на общественный выбор правила для коллективного принятия решения. Эти ограничения суровы. Три общепризнанные цели - коллективная рациональность, способность принимать решения и равенство власти - оказываются в непримиримом противоречии. Если общество отказывается от коллективной рациональности, тем самым принимая необходимую произвольность и возможность оказывать влияние на нерациональные процедуры, то, по-видимому, принцип большинства обеспечит выбор, потому что с его помощью можно достичь две другие цели. Если общество настаивает на сохранении некоторой степени коллективной рациональности, оно может достигнуть равенства, приняв правило консенсуса, но только ценой крайней нерешительности. Общество может увеличить способность принимать решения, концентрируя право вето во все более узком кругу индивидуумов; самое решающее правило, правило диктатора, является самым неравным.

Источник: http://expert-39.narod.ru/15.html

Приложение 2

Краткий политический словарь

Аристократия (др.-греч. aristokratia < aristoV наилучший + kratoV могущество, власть) – 1) высший, привилегированный слой общества, богатая или родовитая знать; 2) форма государственного правления, при которой власть принадлежит представителям родовой знати; 3) высшее, привилегированное общественное сословие.

Комментарий. Интересно, если «высшее сословие» формируется по признаку интеллектуального превосходства (как это происходит в США по признаку IQ), которое является необходимым для решения государственных задач, то будет ли оно аристократией? Ведь прочим гражданам заведомо уготована роль лишь голосующих статистов.

Вече – форма государственной власти, отличающаяся непосредственным и регулярным обсуждением и голосованием граждан при принятии общественно-значимых решений.

Демократия (др.-греч. dhmoV народ + kratoV могущество, власть) – 1) форма государственно-политического устройства общества, основанная на признании народа в качестве источника власти; основные принципы Д. – гарантии частной собственности и свободного предпринимательства, равноправие граждан, защищённость их прав и свобод (в т.ч. соблюдение прав меньшинства при власти большинства), верховенство закона, разделение властей, выборность главы государства и представительных органов; в случае непосредственной Д. основные решения принимаются всеми гражданами на собраниях или посредством референдумов; при представительной Д. решения принимаются выборными органами.

Деспотия (др. греч. despoteia) – форма самодержавной, неограниченной власти; отличается произволом власть имущих (сильных) и бесправием подданных (слабых).

Диктатура (лат. dictatura) – 1) в др. Риме полномочия, власть или время властвования диктатора; 2) осуществление власти в государстве недемократическими методами; авторитарный политический режим, например, личная Д. 3) ничем не ограниченная, не стеснённая никакими законами, опирающаяся на силу власть.

Монархия (др.-греч. monarcia единовластие, самодержавие) – государство, главой которого является монарх; различают неограниченную (абсолютную) М. и ограниченную (конституционную) М., при которой власть монарха ограничена парламентом, без согласия которого монарх не имеет права издавать законы и распоряжения общегосударственного характера.

Охлократия (др. греч. ocloV толпа, чернь + kratoV могущество, власть) – в учениях Платона и Аристотеля о государстве – господство, власть толпы.

Плутократия (др. греч. ploutos богатство + kratoV могущество, власть) – государственный строй, при котором политическая власть формально и фактически принадлежит богатой верхушке общества – плутократам.

Референдум (лат. referendum то, что должно быть сообщено) – всенародный опрос, выявление мнения народа путём голосования; производится по особо важным вопросам и иногда служит основой для принятия законов; одна из форм непосредственной демократии, нередко способствующая установлению диктатуры, поскольку большинство граждан далеко не всегда высказывается в соответствии с логикой и здравым смыслом; например, ряд законодательных изменений в конституции Германии Гитлер провёл, опираясь на результаты референдумов.

Тирания (др.-греч. turanniV) – 1) форма государственной власти, возникшая в греч. полисах в VII-VI вв. до н. э. при борьбе родовой знати с демосом; Т. устанавливалась насильственным путём и заключалась в единоличном правлении тиранов; реформы тиранов часто были направлены на улучшение положения демоса, развитие ремесла и торговли; 2) форма политического устройства ряда средневековых городов-государств Северной и Средней Италии (она же – сеньория); 3) любое жестокое, деспотическое правление.

Научно-методологический клуб "Управляемая Россия". Кеннет Джозеф Эрроу.

Нобелевский лауреат по экономике 1972 года. Американский экономист Кеннет Джозеф Эрроу родился в Нью-Йорке, в семье Гарри и Лилиан (урожденной Гринберг) Эрроу. Учился в Нью-Йорк-Сити-Колледже , закончил его в 1940 году со степенью бакалавра по социальным наукам, специализируясь главным образом по математике. Поступив в том же году в Колумбийский университет , Эрроу в 1941 году получил магистерскую степень по математике. Затем под влиянием экономиста-статистика Г. Хотеллинга перешел на отделение по экономике для продолжения учебы в аспирантуре. Вторая мировая война прервала учебу Эрроу в университете: с 1942 по 1946 годы он являлся офицером метеослужбы в американских ВВС, дослужившись до звания капитана. Первая опубликованная работа Эрроу?Об оптимальном использовании ветров для планирования полетов? (?On the Optimal Use of Winds for Flight Planning?) была целиком навеяна опытом военной службы. С 1946 по 1949 он продолжал учебу в аспирантуре Колумбийского университета, одновременно сотрудничая в качестве младшего исследователя, а затем ассистент-профессора в Комиссии Коулза по экономическим исследованиям в Чикагском университете . Здесь (а начиная с 1948 года многие годы в РЭНД corporation) Эрроу работал в содружестве с Т. Купмансом, Дж. Маршаком и другими экономистами в области теории игр и математического программирования. К этому периоду относятся работы Эрроу по теории социального выбора и проблеме эффективности по Парето. С 1949 года Эрроу исполнял обязанности ассистент-профессора экономики в Стэнфордском университете , где стал затем профессором экономики, статистики и исследования операций; здесь ученый оставался до 1968 года, после чего перешел на должность профессора экономики в Гарвардский университет . С 1974 по 1979 годы он был профессором университета Джеймса Брайана Конанта в Гарварде. С 1980 года он - профессор экономики и профессор исследования операций в Стэнфорде. Наибольшую известность принесла Эрроу его первая книга?Социальный выбор и индивидуальные ценности? (?Social Choise and Individual Values?), опубликованная в 1952 году. В ее основу была положена его докторская диссертация. Опираясь на предшествующие работы в этой области П. Самуэльсона и экономиста из Гарварда А. Бергсона, Эрроу пытался сформулировать условия, при которых из индивидуальных предпочтений рациональным или демократическим путем могут быть выведены групповые решения. Эрроу пришел к выводу, ?что социальная функция выбора, выражающая связь между индивидуальными предпочтениями и социальным выбором, должна отвечать четырем требованиям: переходности (если социальный выбор А предпочтительней, чем выбор Б, а выбор Б - чем выбор С, то выбор А предпочтительней, чем выбор С); эффективности по Парето (альтернативное решение не может быть выбрано, если при этом существует другая реализуемая альтернатива, улучшающая жизнь некоторых членов общества и не ухудшающая ничьих условий жизни); отсутствию диктатуры, навязывающей свои предпочтения всему обществу; независимости посторонних альтернатив (выбор между А и Б остается неизменным, если вводится третий, логически допустимый, но неосуществимый вариант С)?. Эрроу показал, что все четыре условия внутренне противоречивы и противоречат также друг другу, откуда следовало, что ни одна социальная функция выбора не может соответствовать всем требованиям одновременно. Подробнее об этом написано ниже. Социальный выбор и индивидуальные ценности. Можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была рациональной, решающей и демократичной одновременно? Специалисты в области общественных наук, философы и экономисты, исследовавшие этот вопрос, склоняются к отрицательному ответу. Перечисленные характеристики идеальной системы голосования на самом деле несовместимы. Способ голосования может быть избавлен от произвольности, безвыходных положений или неравноправия, но не может избежать этих недостатков одновременно. Систематически проводимый анализ этой дилеммы привел к более глубокому пониманию существующих систем голосования и с течением времени может привести к открытию более совершенных систем. Кеннет Эрроу начал проводить аксиоматическое исследование рациональных процедур голосования. Он выдвинул пять аксиом, которым должна удовлетворять любая процедура комбинирования или объединения индивидуальных предпочтений, чтобы образовать коллективное суждение, и доказал, что единственные процедуры, которые отвечают всем этим аксиомам, сосредоточивают всю власть в руках одного индивидуума. Нельзя найти метод, удовлетворяющий всем аксиомам Эрроу, который не был бы диктаторским - и не за недостатком изобретательности, а потому что такого не существует. Эта работа была в числе тех, за которые он получил Нобелевскую премию. В течение последних 30 лет ученые не переставали исследовать аксиомы Эрроу в попытке обойти его?теорему невозможности?, стремясь ослабить сформулированные им требования. Эта проблема вызвала широкий интерес, поскольку она тесно связана с ключевыми вопросами экономики, философии, общественных наук. Перед философами она встает при анализе практического значения утилитаризма - этической доктрины, утверждающей, что правильность действий зависит от их последствий для народного благоденствия, и требующей найти метод для объединения индивидуальных предпочтений. Ученые, занимающиеся общественными науками, встречают эту проблему при определении или оценке правил голосования для комитетов или законодательных органов. Экономисты сталкиваются с ней при изучении нормирования и других нерыночных методов распределения ресурсов. Эта задача очень важна при нормативных экономиках, поскольку при определении допустимых границ вмешательства правительства в сферу деятельности свободного рынка решающим является понимание потенциального спектра альтернатив? вплоть до полного невмешательства. Принцип большинства голосов заслуживает, чтобы его рассмотрели в первую очередь среди процедур объединения индивидуальных предпочтений. В числе его достоинств - простота, равноправие и весомость, обусловленная традицией. По существу принцип большинства? это процедура сопоставления пар кандидатов или альтернатив. Однако при сопоставлении более двух альтернатив принцип большинства сталкивается с трудностью, на которую ещё 200 лет назад указал маркиз Кондорсе. Отмеченная Кондорсе трудность ныне известна под названием?парадокса голосования?. Предположим, что комитет, состоящий из Тома, Дика и Гарри, должен расположить в порядке предпочтения трех кандидатов А, Б, С. Том располагает их А, Б, С, Дик? Б, С, А, а Гарри? С, А, Б. Подсчет голосов по принципу большинства для выбора из пар кандидатов приводит к циклу: А побеждает Б, Б побеждает С, а С побеждает А? все двумя голосами против одного. Этот цикл? простейший пример парадокса голосования Кондорсе. Когда возможно более двух альтернатив, нужен новый принцип для проведения выборов из попарных упорядочений. Конфигурации предпочтений, которые приводят к парадоксу голосования, создают трудность при каждом естественном подходе. Простейший метод состоит в выборе альтернативы, которая не побивалась бы никакой другой. Однако при наличии парадокса голосования такой альтернативы не существует, поскольку каждая альтернатива, или кандидат, проигрывает какой-либо другой. Второй способ перехода от попарного упорядочения к выборам состоит в определении последовательности, в которой берутся пары альтернатив. Например, последовательность может предусматривать вначале голосование за А или Б, а затем за победившего кандидата или С. При этой последовательности комитет, состоящий из трёх членов, вначале проголосует за А против Б, а на втором этапе С победит А. Легко проверить, что при любой из трех возможных последовательностей в этой ситуации альтернатива, рассмотренная последней, победит: последовательность предопределяет результат. Таким образом, циклы голосования представляют собой трудность не только внешне, но и по существу. Когда случается цикл, выбор окончательного победителя в лучшем случае произволен (если последовательность выбрана произвольным образом), а в худшем случае определяется махинациями того, кто задает последовательность. Другие возможности для стратегических маневров возникают, когда голосующий может изменить последовательность голосования введением новых альтернатив. Предположим (при том же самом комитете), что С представляет собой статус-кво, а Б? альтернативу, образовавшуюся в результате внесения предложения. При этих двух возможных альтернативах Б победит С, и Гарри (который предпочитает кандидата С кандидату Б) будет разочарован. Однако если он сможет внести поправку А к предложению Б, то А победит Б при первоначальном голосовании, а на втором этапе А проиграет С. Таким образом, Гарри добьётся принятия предпочитаемой им альтернативы. Даже если нельзя ввести новые альтернативы, а последовательность невозможно изменить, голосующие могут воспользоваться в своих целях неправильным представлением своих предпочтений. Снова рассмотрим последовательность, при которой С берется в последнюю очередь. Если каждый член комитета голосует в соответствии со своим истинным предпочтением при каждом голосовании, выигрывающая альтернатива С стоит на последнем месте среди предпочтений Тома. Предположим, однако, что Том голосует за Б вместо А в первоначальном голосовании, тогда Б побеждает, побивая С на втором этапе. Таким приемом он заблокировал выбор альтернативы, которая ему нравилась меньше всего. Аксиоматический подход Эрроу. Циклические коллективные предпочтения являются задачами с произвольными исходными данными и стратегическим поведением. Они возникают либо когда предпочтения порождаются принципом большинства, как в примере выше, либо в какой-нибудь другой процедуре голосования. Таким образом, перед Эрроу встал вопрос: возникают ли противоречивые коллективные предпочтения лишь при принципе большинства и тесно связанных с ним методах или они присущи всем системам голосования? Для ответа на этот вопрос он должен был бы рассмотреть различные процедуры голосования и для каждой из них проверить, не порождают ли какие-нибудь конфигурации индивидуальных упорядочений предпочтений циклы или коллективные предпочтения с какими-нибудь другими неприемлемыми свойствами. Сложность заключалась в том, что ему пришлось бы исследовать огромное количество процедур объединения, сильно различающихся теми ролями, которые в них приписывались отдельным голосующим, и критериями, которые использовались для упорядочения альтернатив. По необходимости Эрроу вместо этого выбрал аксиоматический подход. Он сформулировал задачу как выбор?конституции?, т.е. правила, приписывающего коллективное упорядочение альтернатив каждой конфигурации упорядочений индивидуальных предпочтений. Конституция определяет, является ли альтернатива предпочитаемой, лишней или безразличной по отношению к каждой другой. (Две альтернативы считаются безразличными, если общество рассматривает их как одинаково привлекательные.) Эрроу сузил множество возможных конституций, наложив пять требований, которые (как он утверждал) являются необходимыми свойствами каждого этически приемлемого метода объединения. Затем он охарактеризовал класс конституций, которые удовлетворяют всем пяти свойствам. Первая аксиома Эрроу. Универсальность требует, чтобы конституция отражала каждую возможную конфигурацию предпочтений голосующих. Эрроу утверждал, что, поскольку нельзя предсказать все разновидности конфликта, который может возникнуть в ходе действия правила голосования, общество не должно принимать конституции, которая окажется несостоятельной хотя бы при некоторых структурах предпочтений голосующих. Поэтому, как подчеркивал Эрроу, общество должно настаивать на такой конституции, которая была бы достаточно общей, чтобы разрешить все возможные споры. Вторая аксиома Эрроу. Это аксиома единогласия. Управляет действием конституции, когда нет согласия между избирателями. Она устанавливает, что для конфигурации предпочтений, при которой каждый индивидуум предпочитает альтернативу А альтернативе Б, коллективное упорядочение должно быть таким же. Если придерживаться точки зрения, при которой считается, что общественное упорядочение должно отражать предпочтения членов этого общества, то трудно спорить с условием единогласия, которое разрешает проблему в случае, который безусловно является простейшим при объединении предпочтений. Третья аксиома Эрроу. Независимость требует, чтобы коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависело лишь от индивидуальных упорядочений этих двух альтернатив. Как бы не менялись индивидуальные предпочтения других альтернатив, если каждое из индивидуальных упорядочений А и Б остается неизменным, коллективное упорядочение А и Б так же не меняется. Конституция, удовлетворяющая условию независимости, ограничивает информацию об индивидуальных упорядочениях, требующуюся для определения коллективного упорядочения пары альтернатив. В частности, информация об индивидуальных предпочтениях непредставленных альтернатив для коллективного упорядочения рассматриваемых альтернатив; это является большим преимуществом, когда сложно или дорого выявлять индивидуальные упорядочения предпочтений. Без условия независимости конституция должна была бы определять, какие другие альтернативы являются существенными для определения коллективного упорядочения А и Б и как индивидуальные предпочтения для этих альтернатив отражаются на коллективном упорядочении А и Б. Одна распространенная процедура, упорядочение судейских голосов, нарушает условия независимости.(Эта система обычно используется спортивными отделами газет для определения мест, занятых спортивными командами колледжей, и передачи информации комментаторами по телефону.) Когда имеются три альтернативы, это правило коллективного выбора приписывает каждому кандидату три балла, если он оказался первым в списке некоторого голосующего, два балла, если он оказался вторым, и один балл, если третьим. Коллективное упорядочение определяется суммированием баллов каждого кандидата и расположением их в порядке суммарных баллов. В комитете, состоящем из трех членов, каждый кандидат получает шесть баллов, и, таким образом, комитет безразличен по отношению к этим трем кандидатам. Предположим, что свое упорядочение кандидатов Том изменяет с А, Б, С на А, С, Б. Хотя ни один из членов комитета не изменил своего упорядочения А и Б, описываемая процедура теперь коллективное упорядочение А по отношению к Б, поскольку А по-прежнему получает шесть баллов, а Б получает пять баллов. Четвертую и пятую аксиомы лучше рассмотреть, введя некоторые обозначения. р- строгое коллективное предпочтение(аналогичное отношению?больше? между парой действительных чисел). м- коллективное безразличие(аналогичное равенству). н- отношение слабого коллективного предпочтения(аналогичное отношению?больше или равно?). Таким образом, выражение АнБ означает?А коллективно по меньшей мере так же хорошо, как Б?, т.е. либо АрБ, либо АмБ. Четвертая аксиома Эрроу. Аксиома полноты: для каждой пары альтернатив А и Б должно выполняться АнБ, либо БнА (либо оба вместе; в этом случае А и Б безразличны). Согласно этой аксиоме, для процедуры объединения требуется упорядочить каждую пару альтернатив. Коль скоро конституция имеет возможность объявить любую пару альтернатив безразличной, полнота является по-видимому относительно безобидным требованием. Пятая аксиома Эрроу (н- транзитивность). Она требует, чтобы слабое коллективное предпочтение было транзитивно: формально если АнБ и БнС, то АнС. Примеры транзитивных отношений над парами действительных чисел: ?больше? (>), ?равно? (=) и?больше или равно? (>=). Так, если число А больше, чем Б, и Б больше, чем С, то А должно быть больше, чем С. В экономических исследованиях полнота и н-транзитивность являются условными соглашениями и индивидуумы, чьи предпочтения удовлетворяют этим аксиомам, называются?рациональными?. Эрроу расширил это понятие до понятия?коллективная рациональность? для описания конституций, удовлетворяющих аксиомам полноты и н-транзитивности. Он ввел р-транзитивность для обеспечения независимости выбранной альтернативы от последовательности, т.е. пути которым она достигается. Р-транзитивные конституции- это такие правила голосования, при которых из АрБ и БрС следует АрС. Все такие конституции, удовлетворяющие другим аксиомам Эрроу, нейтральны, т.е. они упорядочивают пары альтернатив по одному и тому же критерию. Нейтральность означает, что если из частной конфигурации упорядочений голосующими альтернатив U и V следует, что U коллективно предпочитается V, то из той же конфигурации упорядочений А и Б следует, что А коллективно предпочитается Б. Описывается доказательство этого факта для двух голосующих. Предположим что для альтернатив U и V Энн преобладает над Биллом при этой конституции, если она U предпочитает V. Альтернативы А и Б они упорядочивают по-разному. Для такой конфигурации по аксиоме единогласия Эрроу АрU, по предложению, что Энн преобладает над U против V, UрV и в силу аксиомы единогласия VрU. При р-транзитивности следует, что АрБ для этой частной конфигурации предпочтения. Аксиома независимости Эрроу, однако, позволяет сделать более общее заключение, чем то, что Энн преобладает для А против Б, независимо от позиций U и V в ее упорядочении или упорядочении Билла. (Аксиома независимости устанавливает, что коллективное упорядочение любой пары альтернатив зависит только от предпочтений голосующих, касающихся этих двух альтернатив.) Определив и обосновав эту систему пяти желательных свойств, Эрроу доказал, что единственные конституции, удовлетворяющие всем этим свойствам, обладают простым и удивительным недостатком: каждая из них является правилом диктатора. Диктатор- это личность, обладающее властью навязывать обществу свое строгое предпочтение для любой пары альтернатив. Эрроу сформулировал свою теорему в несколько иной форме. Он добавил шестую аксиому, об отсутствии правила диктатора, и доказал, что не существует конституции, которая удовлетворяла бы всем шести аксиомам. По этой причине вывод Эрроу часто называют?теорема невозможности?. Таким образом, составителю процедуры голосования для законодательных органов, комитетов и клубов, который принимает эти условия в качестве необходимых свойств конституции, просто не везет. Внешние скромные требования Эрроу имеют веские и неприятные последствия. Как показывает его теорема невозможности, пять этих свойств очень ограничительны; хотя они и привлекательны по отдельности, в комбинации они пагубны. Теоретики, исследующие процедуры голосования, приложили немало усилий для пересмотра этих аксиом в поисках обходного пути, чтобы избежать неудобных выводов Эрроу. Вполне оправданным считается довод, что аксиома универсальности слишком претенциозна. Не все логически возможные конфигурации упорядочения предпочтений являются одинаково вероятными. Поскольку некоторые конфигурации могут быть крайне неправдоподобными, требование, чтобы конституция непротиворечиво объединяла все логически возможные конфигурации для получения коллективного упорядочения, по-видимому, чрезмерно сильное. Наиболее распространенная стратегия для ослабления этого требования состояла в том, чтобы, сосредоточившись на какой-нибудь частной процедуре, например принципе большинства, поискать ограничения, которые исключают те конфигурации предпочтения, из которых следует нетранзитивное коллективное предпочтение. Например, если могут возникнуть лишь те конфигурации предпочтений, в которых нет разногласий между индивидуумами, то аксиома универсальности определяла бы коллективные предпочтения и проблема нетранзитивности не могла бы возникнуть. Хорошо известное нетривиальное ограничение, обнаруженное в 40-е годы английским экономистом Данкэном Блэйком, состоит в том, что выбор производится согласно единственному критерию. В этом случае при любом попарном выборе каждый индивидуум голосует за альтернативу, наиболее близкую к его излюбленной позиции. Например, каждый избиратель может упорядочить кандидатов в соответствии с тем, насколько близко они находятся к его собственной позиции в политическом спектре от либерализма до консерватизма. Таким образом, если кандидат А более либерален, чем Б, а Б либеральнее, чем С, общество с единственным критерием выбора, содержащее либералов (А, Б, С), консерваторов (С, Б, А) и умеренных (Б, А, С или Б, С, А), не должно содержать индивидуумов, для которых средняя альтернатива расположена за двумя крайними (А, С, Б и С, А, Б). Если можно ожидать на практике единственность критерия, то этот случай хорошо подчиняется принципу большинства. Однако обычно избиратели упорядочивают кандидатов в соответствии с многими критериями, и поэтому случай одного критерия не осуществляется. В более общем случае стратегия наложения ограничений на конституции может быть успешной, только если эти ограничения правдоподобны в смысле теории образования предпочтений или теории предпочтений. Однако специалисты в области общественных наук не преуспели в деле формального моделирования роли социализации в развитии вкусов и системы ценностей, а также степени близости предпочтений, необходимой для социальной стабильности. Таким образом, несмотря на значительные усилия, еще не сформулированы характеристики возможных способов упорядочения, достаточно широкие, чтобы охватить реальные предпочтения избирателей, и в то же время достаточно узкие, чтобы избежать выводов о правиле диктатора. Возможность отказаться от аксиомы единогласия не вызвала большого энтузиазма. При практическом пересмотре аксиома единогласия кажется довольно слабым требованием, налагаемым на механизм объединения индивидуальных предпочтений для образования коллективного предпочтения. Роберт Уилсон из Стэнфордского университета показал, что единственная дополнительная конституция, удовлетворяющая всем аксиомам Эрроу, кроме аксиомы единогласия, еще менее привлекательна, чем правило диктатора. В частности, появляются две новые возможности. Первая возможность- это всеобщее безразличие, правило, согласно которому любая пара альтернатив постоянно безразлична относительно того, как индивидуумы их упорядочивают. Вторая возможность- это?диктатура наизнанку?, правило, при котором за коллективное упорядочение принимается некоторое обратное упорядочение индивидуальных предпочтений. Этот метод окажется полезным организованному обществу, только если найдется избиратель с безусловно плохим суждением. Аксиома независимости вызвала на себя сильный огонь критики в первое десятилетие после того, как Эрроу опубликовал свои результаты, но сейчас критика этой аксиомы утихла. Оригинальное обоснование Эрроу этого условия состояло в том, что конституции, удовлетворяющие ей, могут быть приняты без предварительного сбора огромной информации о предпочтениях. Чтобы упорядочить альтернативы А и Б, нет нужды уточнять позицию С в индивидуальных упорядочениях. Конституции, которые нарушают эту аксиому, обычно очень громоздки, по крайней мере в случае, когда имеется много альтернатив, поскольку надо получить много информации о предпочтениях, чтобы упорядочить даже небольшое число вероятных альтернатив. Кроме того, поскольку на коллективном упорядочении А и Б при конституции, в которой нарушена эта аксиома, отражаются индивидуальные упорядочения третьей альтернативы, часто избиратели могут воздействовать на результаты относительно А и Б посредством неправильного представления своих предпочтений относительно других альтернатив. Теоремы невозможности?, начало которым положило знаменитое предположение Эрроу, определяют ограничения на общественный выбор правила для коллективного принятия решения. Эти ограничения суровы. Три общепризнанные цели- коллективная рациональность, способность принимать решения и равенство власти- оказываются в непримиримом противоречии. Если общество отказывается от коллективной рациональности, тем самым принимая необходимую произвольность и возможность оказывать влияние на нерациональные процедуры, то, по-видимому, принцип большинства обеспечит выбор, потому что с его помощью можно достичь две другие цели. Если общество настаивает на сохранении некоторой степени коллективной рациональности, оно может достигнуть равенства, приняв правило консенсуса, но только ценой крайней нерешительности. Общество может увеличить способность принимать решения, концентрируя право вето во все более узком кругу индивидуумов; самое решающее правило, правило диктатора, является самым неравным. Все это мало утешительно для тех, кто составляет процедуры коллективного выбора. Тем не менее каждое общество должно производить коллективные выборы и изобретать процедуры голосования, какими бы несовершенными они ни были. Продолжающие исследования с помощью аксиоматического метода, начатые Эрроу, привели к более глубокому пониманию существующих методов голосования и, возможно, помогут создать более совершенные. Они также показывают, что возможности строго ограничены. Решительные компромиссы неизбежны. В начале 50-ых годов Эрроу внес существенный вклад во многие направления экономической теории. В работе?Расширение базовых теорем классической экономики благосостояния? (?An Extension of the Basic Theorems of Classical Welfare Economics?, 1951 год) Эрроу удалось математически обобщить основные положения теории благосостояния, в основе которой лежал принцип оптимальности по Парето. Являясь современной версией теории?невидимой руки? рынка А. Смита, принцип эффективности по Парето доказывался до Эрроу чисто маржиналистскими приемами, из которых следовало, что рыночное равновесие достижимо при любом количестве переменных? вещь абсолютно нереальная. С помощь теории выпуклых рядов Эрроу перевел задачу оптимальности в область математического программирования и доказал не только то, что равновесие на конкурентном рынке подразумевает принцип оптимальности по Парето, но и то, что любое распределение оптимума по Парето может быть осуществлено рыночными силами. На основе математической модели Эрроу обосновалась пагубность непосредственного вмешательства государства в функционирование рыночного механизма в виде контроля над ценами и других мер, направленные на перераспределение дохода. Правительствам рекомендовалось использовать другие средства (например, налоги, трансферты), не сковывающие действия рыночных сил. Другие работы Эрроу внесли значительный вклад в теорию оптимальных запасов, анализ стабильности рыночных моделей, математическое программирование и теорию статистических решений. Исследования Эрроу в 60-е годы были в значительной мере связаны с анализом экономического роста и распределения, экономики неопределенности и политических проблем. В работе 1961 года?Замена капитала трудом и экономическая эффективность? (?Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency?) Эрроу внес вклад в изучение изменения коэффициента взаимозаменяемости труда и капитала? показателя, введенного в экономический анализ Д. Хиксом. В блестящей статье?Экономический смысл обучения через практику? (?The Economic Implication of Learning by Doing?, 1962 год) Эрроу указал на существенный недостаток рыночной экономики, в условиях которой отдельные предприниматели или фирмы предпочитают не тратиться на процесс обучения или исследовательские разработки из-за некоммерческого характера этих расходов, и рекомендовалась коррекция этого процесса со стороны правительства. В содружестве с другими экономистами Эрроу много и плодотворно занимался проблемами общего равновесия. Известная сегодня каноническая модель общего равновесия разработана Эрроу вместе с Ж. Дебрё и была впервые изложена в 1954 году в их совместной статье?Существование равновесия для конкурентной экономики? (?Existence of Equilibrium for a Competitive Economy?) в журнале?Эконометрика? (?Econometrica?). Впоследствии модель была модифицирована, усовершенствована другими экономистами и получила завершенную форму в книге Ж. Дебрё ?Теория стоимости? (?Theory of Value?, 1959 год). С того времени теория общего равновесия Эрроу-Дебрё является отправным пунктом для всех теоретических разработок в области теории общего равновесия, экономики благосостояния, экономики неопределенности, теории денег и других разделов современной экономической теории. Дальнейшие результаты более чем десятилетних исследований Эрроу проблем общего равновесия были изложены в работе?Общий конкурентный анализ? (?General Competitive Analysis?, 1971 год), написанной в соавторстве с английским экономистом Ф. Ханом. В 50-ых годах Эрроу совместно с другими экономистами (С. Э. Харрис, Дж. Маршак, С. Карлин, Г. Скарф, М. Й. Бекман) опубликовал ряд статей, в которых исследовались проблемы?оптимальной теории запасов?. В 60-е годы эта теория модифицировалась в теорию оптимального накопления. В написанной в соавторстве с экономистом М. Курцем работе?Государственные инвестиции, норма прибыли и оптимальная налоговая политика? (?Public Investment, The Rate of Retum, and Optimal Fiscal Policy?, 1970 год) Эрроу разработал подробную модель оптимизации, содержащую критерии для проектов государственных инвестиций. Особый упор был сделан на проблеме контроля и регулирования оптимальной политики с помощью ограниченного набора инструментов? таких, как фиксированные налоги, государственный долг и т. п., при альтернативных выводах относительно индивидуального поведения в области сбережений. Одним из основных направлений исследований Эрроу была экономика неопределенности, ставшая в значительной степени именно благодаря его работам одним из основных разделов современной экономической теории и прикладной экономики. В своей ранней статье (1953 год) ?Значение биржевых ценных бумаг для лучшего распределения риска? Эрроу развивал общую теорию равновесия для выбора в условиях неопределенности. В трех лекциях, прочитанных в 1963 году в Хельсинки в память Ё. Йонссона и воспроизведенных в?Очерках по теории принятия рискованных решений? (?Essays in the Theory of Risk-Bearing?, 1971 год), Эрроу дополнительно исследовал важные аспекты теории неопределенности. Эта работа остается одним из лучших введений в экономику неопределенности. Помимо активной исследовательской и преподавательской деятельности Эрроу является автором обзоров и вводных статей ко многим работам по экономической теории и смежным дисциплинам. Достойны упоминания его предисловия к книгам?Очерки по линейному и нелинейному программированию? (?Studies of Linear and Nonlinear Programming?, 1958 год), ?Очерки по математической теории запасов и производства? (?Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production?, 1958 год), а так же статьи?Экономическое равновесие? (?Economic Equilibrium?) в?Международной энциклопедии социальных наук? (?International Encyclopedia of the Social Sciences?), ?Применение теории контроля к экономическому росту? (?Application of Control Theory to Economic Growth?, 1968 год), и?Организация экономической деятельности: Вопросы, относящиеся к выбору рыночного или нерыночного распределения? (?The Organization of Economic Activity: Issues Perminent to the Choice of Market versus Nonmarket Allocation?, 1969 год). В 1972 году Эрроу получил совместно с Дж. Хиксом Премию памяти Альфреда Нобеля по экономике?за новаторский вклад в общую теорию равновесия и теорию благосостояния?. Техническое оформление исследований Эрроу делает их трудными для восприятия даже для экономистов. Многие, в том числе С. Кузнец, В. Леонтьев и Г. Мюрдаль, открыто обсуждали математическую сложность, свойственную работам Эрроу, Ж. Дебрё, П. Самуэльсона и многих других экономистов-теоретиков после второй мировой войны. Эрроу, однако, в своих исследованиях всегда исходил из интереса к основным экономическим и насущным социальным проблемам. Источником его приверженности моделированию процесса конкурентного равновесия служит, как показала его Нобелевская лекция, не увлечение высшей математикой как таковой, а стремление понять, каким образом достигается равновесие между количеством товаров и услуг, которые одни готовы продать, и количеством, которое другие хотят купить. Он отмечал, что?этот опыт равновесия настолько распространен, что не вызывает беспокойства у людей несведущих. Парадоксально то, что, с другой стороны, не представляя себе всю прочность системы, они не склонны доверяться ей при сколько-нибудь значительном отклонении от привычных условий?. Эрроу обладает даром подходить с глубокой теоретической проницательностью к вопросам социальной и политической жизни. Он является одним из наиболее влиятельных популяризаторов экономической теории, им написан целый ряд понятных и доступных работ по теории экономики. В 1947 году Эрроу женился на Селме Швейцар, у них двое сыновей? Дэвид и Эндрю. Помимо Нобелевской премии Эрроу удостоен многих званий и наград, в том числе медали Джона Бейтса Кларка Американской экономической ассоциации (1957 год), а так же звания члена Научного совета Центра фундаментальных исследований в области наук о поведении, в Исследовательском центре социальных наук и в Фонде Гуггенхейма. Он? член американской Национальной академии наук и Американского философского общества. В 1972 году был президентом Американской экономической ассоциации. Член Финской академии наук и Британской академии наук, действительный член Американской академии наук и искусств , а также Эконометрического общества (президент в 1956 году), Американской ассоциации по статистике, почетный доктор ряда американских университетов и колледжей.

Методические комментарии

Тема 10. Выявление предпочтений индивидов и общественный выбор

Модуль 3 ТЕОРИЯ ОБЩЕСТВЕННОГО ВЫБОРА

Комплексная цель модуля

В данном модуле обоснованы ключевые позиции выявления предпочтений индивидов и в системе общественного выбора, раскрыты особенности формирования общественного выбора в условиях представительной и прямой демократии, определены элементы экономической теории демократического государства.

Цель модуля состоит в выявлении особенностей нерыночного типа принятия решений (на основе действия политических институтов), в осмыслении общественного выбора как коллективного способа принятия решений в отношении производства общественных благ и перераспределения доходов, а также в обосновании особенностей формирования общественного выбора в условиях представительной и прямой демократии и определении сущностных элементов экономической теории демократического государства.

Коллективный выбор. Оптимум Парето и единогласно принимаемые решения. Оптимальное большинство. Правило простого большинства. Теорема Мэя. Парадокс голосования. Теорема о медианном избирателе. Характер решений и процедуры выбора. Альтернативные правила принятия коллективных решений.

К. Эрроу полагал, что в основе принятия коллективных решений лежат предпочтения индивидов, составляющих общество. Необходимо найти механизм, согласно которому порядковые предпочтения отдельных индивидов будут агрегированы в порядковые предпочтения общества. Очень важно также, чтобы общественные предпочтения отражали любое изменение в индивидуальных предпочтениях, т.е. механизм агрегирования должен быть совершенным. Эрроу впервые поставил проблему зависимости общественного благосостояния от механизма выявления и агрегирования индивидуальных предпочтений.

Если допустить, что общество может действовать как один совокупный индивид и принимать решения, удовлетворяющие каждого члена общества, то должны существовать критерии упорядочивания общественных альтернатив. Такие критерии логического и этического порядка, которым должна отвечать система сведения индивидуальных предпочтений в один комплексный показатель общественного благосостояния были предложены Эрроу в работе «Общественный выбор и индивидуальные ценности».

Эрроу считал, что демократическая «социальная функция благосостояния», осуществляющая связь между индивидуальными предпочтениями и социальным выбором, должна соответствовать четырем требованиям:

Транзитивности (если социальный выбор А предпочтительнее, чем выбор Б, а выбор Б – выбора В, то выбор А предпочтительнее, чем выбор В),

Эффективности по Парето (альтернативное решение не может быть выбрано, если при этом существует другая реализуемая альтернатива, улучшающая жизнь некоторым членам общества и никому не ухудшающая,

Отсутствие диктатуры (выбор индивидов между альтернативами самостоятелен и не зависит от предпочтений других),

Независимости посторонних альтернатив(если индивид выбирает между альтернативами А и Б, то от того, как он оценивает С, его выбор между А и Б не зависит).

Эрроу доказал, что четыре условия находятся в противоречии, таким образом, ни одна социальная схема благосостояния не может соответствовать всем требованиям одновременно. Простейший пример «теоремы невозможности» Эрроу известен как парадокс Кондорсе, названный по имени известного французского математика, жившего в 18 веке.

а) основная:

1. Ахинов А.Г., Жильцов Е.Н. Экономика общественного сектора: Учебное пособие. – М.: ИНФРА-М, 2008.- 345 с.

2. Экономика общественного сектора: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению "Экономика" и экономическим специальностям / [В. Д. Андрианов и др.]; под ред. д-ра экон. наук П. В. Савченко, д-ра экон. наук И. А. Погосова, д-ра экон. наук Е. Н. Жильцова; Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, Ин-т экономики РАН. - Москва: Инфра-М, 2010. - 763 с.

3. Экономика, организация и управление общественным сектором: учебник для студентов вузов, обучающихся по направлению «Экономика» и экономическим специальностям/ Н.А. Восколович, Е.Н. Жильцов, С.Д. Еникеева; под. ред. Н.А. Восколович. – М..: ЮНИТИ-ДАНА, 2008. – 367с.

4. Электронный учебник « Галерея экономистов » Теория общественного выбора http://gallery.economicus.ru/cgi-bin/g_framen.pl?type=school&search=pubchoice -

б) дополнительная:

1. Blumer H. Collective Behavior. Chapt. XIX -XXII / New Outline of the Principles of Sociology. N. Y., 1951. P. 167-221

2. Аткинсон Э.Б.. Стиглиц Дж.Э. Лекции по экономической теории государственного сектора: Учебник /Пер. Под ред. Л.Л. Любимова. М., 1995. Л.10.

3. Ахинов Г.А. Основы экономики общественного сектора: Курс лекций. М.: Экономический факультет МГУ, ТЕИС, 2003. С. 122-128.

4. Бьюкенен Дж М. Конституция экономической политики. Расчет согласия. Границы свободы. границы олитики.я экономикойТЕИС, 1999. Гл. кая теория. т лекций. исторический опыт, уроки для России // Вопросы экономики. ие Сочинения. Серия: «Нобелевские лауреаты по экономике» Т. 1. М.: «Таурус Альфа», 1997. Гл. 3,4.

5. Мильчакова Н. Игра по правилам: «Общественный выбор» Джеймса Бьюкенена // Вопросы экономики. - 1994.- № 6.

6. Нуреев Р.М. Теория общественного выбора. Курс лекций. М.: изд. дом ГУ ВШЭ, 2005. С. 144-217.

7. Олсон М. Логика коллективных действий. М., 1995. Гл. 6.

8. Стиглиц Дж. Ю. Экономика государственного сектора. М.: МГУ, 1997. Гл. 6.

9. Электронный учебник. Генри Блумер. Коллективное поведение// http://www.fidel-kastro.ru/sociologia/blumer.htm#16

10. Якобсон Л.И. Государственный сектор экономики: экономическая теория и политика. М.:ГУ ВШЭ, 2000. Гл. 4.

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow’s paradox ) - теорема о невозможности «коллективного выбора ». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году . Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность Для любого профиля голосования существует результат - упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n ! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Независимость от посторонних альтернатив Если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность Отсутствие диктатора Независимость от посторонних альтернатив Эффективность по Парето , или принцип единогласия если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y , это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

• $O$ - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
• $L\_i$ - линейный порядок предпочтений $i$-го агента на множестве $O$ заданный отношением $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$ - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов).
• $W:\; L^N\; \backslash to\; L\_W$ - функция общественного благосостояния.
• $\backslash succ\_W$ - коллективные предпочтения.

Дадим формальные определения:

• Парето-эффективность : $W$ парето-эффективна, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Независимость от посторонних альтернатив : $W$ независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O$ и для любых двух профилей предпочтений $[\backslash succ"]$ и $[\backslash succ$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightarrow (o_1 \succ_{W([\succ"])} o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ_{W([\succ ])} o_2).
• Отсутствие диктатора : считаем, что для $W$ отсутствует диктатор, если не существует такого $i$, что $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Теорема Эрроу : если $|O|\; \backslash geq\; 3$, то любая Парето-эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния $W$ имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Если каждый агент помещает исход $b$ в самый верх или самый низ своего списка предпочтений (при этом не требуется, чтобы все агенты действовали одинаково), то и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль $[\backslash succ]$ такой, что в нём для всех агентов $i$ исход $b$ расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, то есть существуют такие $a,\; c\; \backslash in\; O$, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Изменим тогда профиль $[\backslash succ]$ так, чтобы для всех агентов выполнялось $c\; \backslash succ\_i\; a$, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль $[\backslash succ"]$. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Следовательно, в силу транзитивности $\backslash succ\_W$ получаем $a\; \backslash succ\_W\; c$. Но мы предположили, что для всех агентов $c\; \backslash succ\_i\; a$, тогда в силу Парето-эффективности должно быть $c\; \backslash succ\_W\; a$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Для всякого исхода $b$ существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход $b$ из самой нижней позиции в списке $\backslash succ\_W$ в самую верхнюю позицию в этом списке. Иными словами, найдутся два профиля $[\backslash succ^1]$ и $[\backslash succ^2]$, отличающихся только предпочтениями агента $i$, что $b$ находится в конце списка для $[\backslash succ^1\_W]$ и в начале списка для $[\backslash succ^2\_W]$.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход $b$ в самом низу своего списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Ясно, что и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ находится на самой нижней позиции (в силу Парето-эффективности). Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход $b$ с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Когда все агенты поставят исход $b$ первым в своём списке предпочтений, он будет первым и для $\backslash succ\_W$. Таким образом, в какой-то момент $\backslash succ\_W$ изменится. Пусть $n^*$ - агент, который, переставив таким образом $b$, изменил $\backslash succ\_W$ (в первый раз). Обозначим $[\backslash succ^1]$ - профиль предпочтений как раз до того, как $n^*$ переместил $b$, а $[\backslash succ^2]$ - профиль предпочтений сразу же после того, как $n^*$ переместил $b$. Таким образом, в $[\backslash succ^2]$ исход $b$ изменил свою позицию в $\backslash succ\_W$, при этом для всех агентов $b$ находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции $\backslash succ\_i$. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в $\backslash succ\_W$ исход $b$ занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. $n^*$ - диктатор над всеми парами , не включающими в себя $b$.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля $[\backslash succ^2]$ построим $[\backslash succ^3]$ следующим образом: в $\backslash succ\_\{n^*\}$, переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом $a$ и $c$. Тогда, как и в $[\backslash succ^1]$ получим, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в $[\backslash succ^2]$ получим, что $b\; \backslash succ\_W\; c$. Тогда $a\; \backslash succ\_W\; c$. Теперь построим профиль предпочтений $[\backslash succ^4]$ следующим образом: для всех агентов поместим исход $b$ на произвольную позицию в списке предпочтений $\backslash succ\_i$, для агента $n^*$ поместим исход $a$ в произвольную позицию до исхода $с$. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив $a\; \backslash succ\_W\; c$. Мы получили, что все агенты, кроме $n^*$ имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат $a\; \backslash succ\_W\; c$ получился исходя только лишь из предположения, что $a\; \backslash succ\_\{n^*\}\; c$.

Этап 4. $n^*$ - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент $n^\{**\}$ для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, $A\; =\; a,\; B\; =\; b$. Если бы агент $n^\{**\}\; \backslash neq\; n^*$ был дикатором над , никакая замена предпочтений агента $n^*$ не могла бы поменять ранжирование $a$ и $b$ в $\backslash succ\_W$. Но на Этапе 2 агент $n^*$ переставил $b$ с последнего места на первое в $\backslash succ\_W$, и таким образом был обязан поменять местами $a$ и $b$. Следовательно, можно заключить, что $n^\{**\}$ совпадает с $n^*$, то есть $n^*$ и есть диктатор.

Доказательство завершено.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.

Напишите отзыв о статье "Теорема Эрроу"

Ссылки

Примечания

Институт выборов Уровень выборов Избирательные системы Избирательная кампания Голосование Избирательное право Электоральная география Нарушения на выборах Псефология

Отрывок, характеризующий Теорема Эрроу

На Пьера не находили, как прежде, минуты отчаяния, хандры и отвращения к жизни; но та же болезнь, выражавшаяся прежде резкими припадками, была вогнана внутрь и ни на мгновенье не покидала его. «К чему? Зачем? Что такое творится на свете?» спрашивал он себя с недоумением по нескольку раз в день, невольно начиная вдумываться в смысл явлений жизни; но опытом зная, что на вопросы эти не было ответов, он поспешно старался отвернуться от них, брался за книгу, или спешил в клуб, или к Аполлону Николаевичу болтать о городских сплетнях.
«Елена Васильевна, никогда ничего не любившая кроме своего тела и одна из самых глупых женщин в мире, – думал Пьер – представляется людям верхом ума и утонченности, и перед ней преклоняются. Наполеон Бонапарт был презираем всеми до тех пор, пока он был велик, и с тех пор как он стал жалким комедиантом – император Франц добивается предложить ему свою дочь в незаконные супруги. Испанцы воссылают мольбы Богу через католическое духовенство в благодарность за то, что они победили 14 го июня французов, а французы воссылают мольбы через то же католическое духовенство о том, что они 14 го июня победили испанцев. Братья мои масоны клянутся кровью в том, что они всем готовы жертвовать для ближнего, а не платят по одному рублю на сборы бедных и интригуют Астрея против Ищущих манны, и хлопочут о настоящем Шотландском ковре и об акте, смысла которого не знает и тот, кто писал его, и которого никому не нужно. Все мы исповедуем христианский закон прощения обид и любви к ближнему – закон, вследствие которого мы воздвигли в Москве сорок сороков церквей, а вчера засекли кнутом бежавшего человека, и служитель того же самого закона любви и прощения, священник, давал целовать солдату крест перед казнью». Так думал Пьер, и эта вся, общая, всеми признаваемая ложь, как он ни привык к ней, как будто что то новое, всякий раз изумляла его. – «Я понимаю эту ложь и путаницу, думал он, – но как мне рассказать им всё, что я понимаю? Я пробовал и всегда находил, что и они в глубине души понимают то же, что и я, но стараются только не видеть ее. Стало быть так надо! Но мне то, мне куда деваться?» думал Пьер. Он испытывал несчастную способность многих, особенно русских людей, – способность видеть и верить в возможность добра и правды, и слишком ясно видеть зло и ложь жизни, для того чтобы быть в силах принимать в ней серьезное участие. Всякая область труда в глазах его соединялась со злом и обманом. Чем он ни пробовал быть, за что он ни брался – зло и ложь отталкивали его и загораживали ему все пути деятельности. А между тем надо было жить, надо было быть заняту. Слишком страшно было быть под гнетом этих неразрешимых вопросов жизни, и он отдавался первым увлечениям, чтобы только забыть их. Он ездил во всевозможные общества, много пил, покупал картины и строил, а главное читал.
Он читал и читал всё, что попадалось под руку, и читал так что, приехав домой, когда лакеи еще раздевали его, он, уже взяв книгу, читал – и от чтения переходил ко сну, и от сна к болтовне в гостиных и клубе, от болтовни к кутежу и женщинам, от кутежа опять к болтовне, чтению и вину. Пить вино для него становилось всё больше и больше физической и вместе нравственной потребностью. Несмотря на то, что доктора говорили ему, что с его корпуленцией, вино для него опасно, он очень много пил. Ему становилось вполне хорошо только тогда, когда он, сам не замечая как, опрокинув в свой большой рот несколько стаканов вина, испытывал приятную теплоту в теле, нежность ко всем своим ближним и готовность ума поверхностно отзываться на всякую мысль, не углубляясь в сущность ее. Только выпив бутылку и две вина, он смутно сознавал, что тот запутанный, страшный узел жизни, который ужасал его прежде, не так страшен, как ему казалось. С шумом в голове, болтая, слушая разговоры или читая после обеда и ужина, он беспрестанно видел этот узел, какой нибудь стороной его. Но только под влиянием вина он говорил себе: «Это ничего. Это я распутаю – вот у меня и готово объяснение. Но теперь некогда, – я после обдумаю всё это!» Но это после никогда не приходило.
Натощак, поутру, все прежние вопросы представлялись столь же неразрешимыми и страшными, и Пьер торопливо хватался за книгу и радовался, когда кто нибудь приходил к нему.
Иногда Пьер вспоминал о слышанном им рассказе о том, как на войне солдаты, находясь под выстрелами в прикрытии, когда им делать нечего, старательно изыскивают себе занятие, для того чтобы легче переносить опасность. И Пьеру все люди представлялись такими солдатами, спасающимися от жизни: кто честолюбием, кто картами, кто писанием законов, кто женщинами, кто игрушками, кто лошадьми, кто политикой, кто охотой, кто вином, кто государственными делами. «Нет ни ничтожного, ни важного, всё равно: только бы спастись от нее как умею»! думал Пьер. – «Только бы не видать ее, эту страшную ее ».

В начале зимы, князь Николай Андреич Болконский с дочерью приехали в Москву. По своему прошедшему, по своему уму и оригинальности, в особенности по ослаблению на ту пору восторга к царствованию императора Александра, и по тому анти французскому и патриотическому направлению, которое царствовало в то время в Москве, князь Николай Андреич сделался тотчас же предметом особенной почтительности москвичей и центром московской оппозиции правительству.
Князь очень постарел в этот год. В нем появились резкие признаки старости: неожиданные засыпанья, забывчивость ближайших по времени событий и памятливость к давнишним, и детское тщеславие, с которым он принимал роль главы московской оппозиции. Несмотря на то, когда старик, особенно по вечерам, выходил к чаю в своей шубке и пудренном парике, и начинал, затронутый кем нибудь, свои отрывистые рассказы о прошедшем, или еще более отрывистые и резкие суждения о настоящем, он возбуждал во всех своих гостях одинаковое чувство почтительного уважения. Для посетителей весь этот старинный дом с огромными трюмо, дореволюционной мебелью, этими лакеями в пудре, и сам прошлого века крутой и умный старик с его кроткою дочерью и хорошенькой француженкой, которые благоговели перед ним, – представлял величественно приятное зрелище. Но посетители не думали о том, что кроме этих двух трех часов, во время которых они видели хозяев, было еще 22 часа в сутки, во время которых шла тайная внутренняя жизнь дома.
В последнее время в Москве эта внутренняя жизнь сделалась очень тяжела для княжны Марьи. Она была лишена в Москве тех своих лучших радостей – бесед с божьими людьми и уединения, – которые освежали ее в Лысых Горах, и не имела никаких выгод и радостей столичной жизни. В свет она не ездила; все знали, что отец не пускает ее без себя, а сам он по нездоровью не мог ездить, и ее уже не приглашали на обеды и вечера. Надежду на замужество княжна Марья совсем оставила. Она видела ту холодность и озлобление, с которыми князь Николай Андреич принимал и спроваживал от себя молодых людей, могущих быть женихами, иногда являвшихся в их дом. Друзей у княжны Марьи не было: в этот приезд в Москву она разочаровалась в своих двух самых близких людях. М lle Bourienne, с которой она и прежде не могла быть вполне откровенна, теперь стала ей неприятна и она по некоторым причинам стала отдаляться от нее. Жюли, которая была в Москве и к которой княжна Марья писала пять лет сряду, оказалась совершенно чужою ей, когда княжна Марья вновь сошлась с нею лично. Жюли в это время, по случаю смерти братьев сделавшись одной из самых богатых невест в Москве, находилась во всем разгаре светских удовольствий. Она была окружена молодыми людьми, которые, как она думала, вдруг оценили ее достоинства. Жюли находилась в том периоде стареющейся светской барышни, которая чувствует, что наступил последний шанс замужества, и теперь или никогда должна решиться ее участь. Княжна Марья с грустной улыбкой вспоминала по четвергам, что ей теперь писать не к кому, так как Жюли, Жюли, от присутствия которой ей не было никакой радости, была здесь и виделась с нею каждую неделю. Она, как старый эмигрант, отказавшийся жениться на даме, у которой он проводил несколько лет свои вечера, жалела о том, что Жюли была здесь и ей некому писать. Княжне Марье в Москве не с кем было поговорить, некому поверить своего горя, а горя много прибавилось нового за это время. Срок возвращения князя Андрея и его женитьбы приближался, а его поручение приготовить к тому отца не только не было исполнено, но дело напротив казалось совсем испорчено, и напоминание о графине Ростовой выводило из себя старого князя, и так уже большую часть времени бывшего не в духе. Новое горе, прибавившееся в последнее время для княжны Марьи, были уроки, которые она давала шестилетнему племяннику. В своих отношениях с Николушкой она с ужасом узнавала в себе свойство раздражительности своего отца. Сколько раз она ни говорила себе, что не надо позволять себе горячиться уча племянника, почти всякий раз, как она садилась с указкой за французскую азбуку, ей так хотелось поскорее, полегче перелить из себя свое знание в ребенка, уже боявшегося, что вот вот тетя рассердится, что она при малейшем невнимании со стороны мальчика вздрагивала, торопилась, горячилась, возвышала голос, иногда дергала его за руку и ставила в угол. Поставив его в угол, она сама начинала плакать над своей злой, дурной натурой, и Николушка, подражая ей рыданьями, без позволенья выходил из угла, подходил к ней и отдергивал от лица ее мокрые руки, и утешал ее. Но более, более всего горя доставляла княжне раздражительность ее отца, всегда направленная против дочери и дошедшая в последнее время до жестокости. Ежели бы он заставлял ее все ночи класть поклоны, ежели бы он бил ее, заставлял таскать дрова и воду, – ей бы и в голову не пришло, что ее положение трудно; но этот любящий мучитель, самый жестокий от того, что он любил и за то мучил себя и ее, – умышленно умел не только оскорбить, унизить ее, но и доказать ей, что она всегда и во всем была виновата. В последнее время в нем появилась новая черта, более всего мучившая княжну Марью – это было его большее сближение с m lle Bourienne. Пришедшая ему, в первую минуту по получении известия о намерении своего сына, мысль шутка о том, что ежели Андрей женится, то и он сам женится на Bourienne, – видимо понравилась ему, и он с упорством последнее время (как казалось княжне Марье) только для того, чтобы ее оскорбить, выказывал особенную ласку к m lle Bоurienne и выказывал свое недовольство к дочери выказываньем любви к Bourienne.

Теорема Эрроу

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow’s paradox ) - теорема о невозможности «коллективного выбора ». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году .

Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат.

Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность Для любого профиля голосования существует результат - упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n ! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Если профиль голосования изменится так,что для пары альтернатив x и y , все порядки останутся теми же, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность Отсутствие диктатора Независимость от посторонних альтернатив Эффективность по Парето , или принцип единогласия если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y , это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

≻ i - предпочтения i-го агента; [≻ " ] - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов);

W: L n → L - функция общественного благосостояния; ≻ W - коллективные предпочтения.

Обозначим O - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.

Дадим формальные определения:

Парето эффективность

W парето эффективна, если для любых исходов o 1 , o 2 ∈ O, ∀i (o 1 ≻ i o 2) ⇒ (o 1 ≻ W o 2)

Независимость от посторонних альтернатив

W независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов o 1 , o 2 ∈ O и для любых двух профилей предпочтений [≻ " ] и [≻ " ] ∈ L n , ∀i (o 1 ≻ i " o 2 ⇔ o 1 ≻ i " o 2) ⇒ (o 1 ≻ W([≻ " ]) o 2 ⇔ o 1 ≻ W([≻ " ]) o 2)

Отсутствие диктатора

Считаем, что для W отсутствует диктатор, если не существует такого i, что ∀ o 1 , o 2 ∈ O (o 1 ≻ i o 2 ⇒ o 1 ≻ W o 2)

Теорема Эрроу

Если |O| ≥ 3, то любая Парето эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния W имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Утверждение Если каждый агент помещает исход b в самый верх или самый низ своего списка предпочтений, то и в ≻ W исход b тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль [≻] такой, что в нем для всех агентов i исход b расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений ≻ i . Теперь допустим, что наше утверждение неверно, т.е. существуют такие a,c ∈ O, что a ≻ W b и b ≻ W c. Изменим тогда профиль [≻] так, чтобы для всех агентов выполнялось c ≻ i a, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль [≻ " ]. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле a ≻ W b и b ≻ W c. Следовательно, в силу транзитивности ≻ W получаем a ≻ W c. Но мы предположили, что для всех агентов c ≻ i a, тогда в силу парето эффективности должно быть c ≻ W a. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Утверждение Существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход b из самой нижней позиции в списке ≻ W в самую верхнюю позицию в этом списке.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход b в самом низу своего списка предпочтений ≻ i . Ясно, что и в ≻ W исход b находится на самой нижней позиции. Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход b с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Пусть n * - агент, который переставив таким образом b, изменил ≻ W . Обозначим [≻ 1 ] - профиль предпочтений как раз до того, как n * переместил b, а [≻ 2 ] - профиль предпочтений сразу же после того, как n * переместил b. Таким образом, в [≻ 2 ] исход b изменил свою позицию в ≻ W , при этом для всех агентов b находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции ≻ i . Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в ≻ W исход b занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. Утверждение n * - диктатор над всеми парами , не включающими в себя b.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля [≻ 2 ] построим [≻ 3 ] следующим образом: в ≻ n * переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом a и c. Тогда, как и в [≻ 1 ] получим, что a ≻ W b (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в [≻ 2 ] получим, что b ≻ W c. Тогда a ≻ W c. Теперь построим профиль предпочтений [≻ 4 ] следующим образом: для всех агентов поместим исход b на произвольную позицию в списке предпочтений ≻ i , для агента n * поместим исход a в произвольную позицию до исхода с. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив a ≻ W c. Мы получили, что все агенты, кроме n * имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат a ≻ W c получился исходя только лишь из предположения, что a ≻ n * c.

Этап 4. Утверждение n * - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент n ** для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, A = a, B = b. Но n * и сам может менять ранжирование в ≻ W (это рассматривалось на Этапе 2). Следовательно, можно заключить, что n ** совпадает с n * . Доказательство завершено.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.

Ссылки

• Теорема о невозможности в задаче пропорционального представительства
• Кардиналистское голосование: Путь преодоления парадоксов социального выбора

Примечания

Выборы и предвыборные кампании
Институт выборов	Прямые выборы / Непрямые выборы Альтернативные выборы / Безальтернативные выборы Конкурентные выборы / Неконкурентные выборы Выборы по жребию Референдум Критика института выборов
Уровень выборов	Общенациональные выборы (Парламентские выборы Президентские выборы) Региональные выборы Муниципальные выборы
Избирательные системы	Избирательные системы простого большинства Пропорциональные Смешанные Метод Шульце Одобрительное голосование
Избирательная кампания	Календарь выборов Праймериз Выдвижение кандидатов Регистрация кандидатов Агитационный период Повторное голосование Повторные выборы Досрочные выборы Кандидаты Избирательный фонд Избирательный залог Политическое консультирование Предвыборная агитация (Встреча с избирателями Предвыборные обещания) Избирательный штаб Избирательное объединение Избирательный блок Партийный список Паровоз Избирательная комиссия День тишины
Голосование	Досрочное голосование Открепительное удостоверение День голосования Единый день голосования Эксит-полл Подсчёт голосов Процентный барьер Открытое голосование Тайное голосование Воздержание Испорченный бюллетень Протестный голос Явка избирателей Бойкот Голосование ногами Электронное голосование Интернет-выборы Избирательный процесс Кабина для голосования Урна Избирательный бюллетень Против всех
Избирательное право	Объективное Субъективное (активное , пассивное)
Электоральная география	Избирательный округ Избирательный участок Джерримендеринг Гнилые местечки
Нарушения на выборах	Вброс бюллетеней Использование административного ресурса Карусель Манипуляция общественным мнением Подкуп избирателей Фальсификация итогов голосования Фотографирование бюллетеня
Псефология	Абсентеизм Представительная демократия Парадокс Кондорсе Теорема Эрроу

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Теорема Эрроу" в других словарях:

Эрроу парадокс - теорема, разработанная американским экономистом, Нобелевским лауреатом К.Эрроу о невозможности, при некоторых «разумных» предпосылках, сведения индивидуальных функций полезности группы независимых и равноправных лиц (в … Экономико-математический словарь

Эрроу парадокс - Теорема, разработанная американским экономистом, Нобелевским лауреатом К.Эрроу о невозможности, при некоторых «разумных» предпосылках, сведения индивидуальных функций полезности группы независимых и равноправных лиц (в частности, индивидуального… … Справочник технического переводчика

Кеннет Джозеф Эрроу Kenneth Joseph Arrow Дата рождения: 23 августа 1921(1921 08 23) (91 год) … Википедия

- (impossibility theorem) Доказательство невозможности сделать что либо или обрести нечто. Самый известный подобный результат в политике, по К.Дж. Эрроу, доказывает, что если система выбора или упорядочивания (например, избирательная процедура)… … Политология. Словарь.

- (Arrow s impossibility theorem) Теорема, согласно которой в экокомической модели, включающей нескольких человек, голосование большинством голосов отнюдь не всегда порождает равновесную ситуацию. Пусть три лица, 1, 2 и 3, последовательно ранжируют … Экономический словарь

- … Википедия

Теорема невозможности Эрроу - экон. при демократическом принятии коллективного решения на основе большинства голосов невозможно предотвратить манипулирование общественными предпочтениями со стороны отдельных индивидов … Универсальный дополнительный практический толковый словарь И. Мостицкого

«Суть этой теоремы состоит в том, что любой коллективный выбор, удовлетворяющий вполне разумным аксиомам, может обеспечить наилучшую альтернативу лишь в том случае, если он содержит черты принудительности, или диктаторства. Теорема невозможности Эрроу очень остро поставила вопрос о природе экономической науки, а вместе с ней и экономической этики. Она имеет ограничительный характер, ибо выявляет границы состоятельности экономики».

Канке В.А., Философия науки: краткий энциклопедический словарь, М., «Омега-Л», 2008 г., с. 309.

Кеннет Эрроу из Стенфордского университета поставил вопросов наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократической (один человек - один голос) и решающей (позволяла осуществить выбор)?

Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта система должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно понятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допускали математическое выражение в виде некоторых условий.

На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать существование системы голосования, удовлетворяющей одновременно трём перечисленным выше принципам: рациональная, демократическая и решающая.

Первая аксиома Эрроу требует, чтобы система голосования была достаточно общей для того, чтобы учитывать все возможные распределения голосов избирателей. Интуитивно это требование вполне очевидно. Заранее нельзя предсказать распределение голосов. Совершенно необходимо, чтобы система была действенной при любых предпочтениях избирателей. Эта аксиома получила название аксиомы универсальности.

Ещё более очевидной с точки зрения здравого смысла является вторая аксиома Эрроу: аксиома единогласия, в соответствии с ней необходимо, чтобы коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих. Если, например, каждый из голосующих считает, что кандидат А лучше кандидата В, то и система голосования должна приводить к этому результату.

Третья аксиома Эрроу получила название независимости от несвязанных альтернатив . Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочтение не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам. Третья аксиома достаточно привлекательна, но не столь очевидна с точки зрения каждодневного человеческого поведения. Так, в одноой из роабот приводится убедительный пример нарушения этой аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приготовление блюда В требует высокой квалификации повара, а, по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С - очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выбирает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить.

Часто третья аксиома Эрроу нарушается судьями в фигурном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фигуристам в одиночном катании, они стараются учесть возможность хорошего выступления третьего сильного кандидата, оставляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста С, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов А и В. Если А имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигуриста В при примерно равном выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста С.

Тем не менее, сама возможность предъявления требования независимости к системе голосования в качестве обязательного не вызывает сомнения.

Четвёртая аксиома Эрроу носит название аксиомы полноты: система голосования должна сравнить любую пару кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом имеется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными. Требование полноты не кажется слишком строгим для системы голосования.

Пятая аксиома Эрроу является уже знакомым условием - транзитивности: если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Считается, что система голосования, не допускающая нарушения транзитивности, ведет себя рациональным образом.

Определив пять аксиом - желательных свойств системы голосования, Эрроу доказал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демократических свобод недостатком: каждая из них является правилом диктатора - личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Результаты, выявленные Эрроу, получили широкую известность. Они развеяли надежды многих экономистов, социологов, математиков найти совершенную систему голосования. Требование исключения диктатора приводит к невозможности создания системы голосования, удовлетворяющей всем аксиомам Эрроу.

Поэтому результат Эрроу называют «теоремой невозможности».