К государственному экзамену по специальности
1. Линейное (векторное) пространство над полем. Примеры. Подпространства, простейшие свойства. Линейная зависимость и независимость векторов.
2. Базис и размерность векторного пространства. Матрица координат системы векторов. Переход от одного базиса к другому. Изоморфизм векторных пространств.
3. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел.
4. Кольцо целых чисел. Упорядоченность целых чисел. Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» целом числе.
5. Группа, примеры групп. Простейшие свойства групп. Подгруппы. Гомоморфизм и изоморфизм групп.
6. Основные свойства делимости целых чисел. Простые числа. Бесконечность множества простых чисел. Каноническое разложение составного числа и его единственность.
7. Теорема Кронекера-Капелли (критерий совместности системы линейных уравнений).
8. Основные свойства сравнений. Полная и приведенная системы вычетов по модулю. Кольцо классов вычетов по модулю. Теоремы Эйлера и Ферма.
9. Приложение теории сравнений к выводу признаков делимости. Обращение обыкновенной дроби в десятичную и определение длины ее периода.
10. Сопряженность мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами. Неприводимые над полем действительных чисел многочлены.
11. Линейные сравнения с одной переменной (критерий разрешимости, способы решения).
12. Равносильные системы линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных.
13. Кольцо. Примеры колец. Простейшие свойства колец. Подкольцо. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Поле. Примеры полей. Простейшие свойства. Минимальность поля рациональных чисел.
14. Натуральные числа (основы аксиоматической теории натуральных чисел). Теоремы о «наибольшем» и «наименьшем» натуральном числе.
15. Многочлены над полем. Теорема о делении с остатком. Наибольший общий делитель двух многочленов, его свойства и способы нахождения.
16. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности, фактормножество.
17. Математическая индукция для натуральных и целых чисел.
18. Свойства взаимно простых чисел. Наименьшее общее кратное целых чисел, его свойства и способы нахождения.
19. Поле комплексных чисел, числовые поля. Геометрическое представление и тригонометрическая форма комплексного числа.
20. Теорема о делении с остатком для целых чисел. Наибольший общий делитель целых чисел, его свойства и способы нахождения.
21. Линейные операторы векторного пространства. Ядро и образ линейного оператора. Алгебра линейных операторов векторного пространства. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора.
22. Аффинные преобразования плоскости, их свойства и способы задания. Группа аффинных преобразований плоскости и ее подгруппы.
23. Многоугольники. Площадь многоугольника. Теорема существования и единственности.
24. Равновеликость и равносоставленность многоугольников.
25. Геометрия Лобачевского. Непротиворечивость системы аксиом геометрии Лобачевского.
26. Понятие параллельности в геометрии Лобачевского. Взаимное расположение прямых на плоскости Лобачевского.
27. Формулы движений. Классификация движений плоскости. Приложения к решению задач.
28. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве (в аналитическом изложении).
29. Проективные преобразования. Теорема существования и единственности. Формулы проективных преобразований.
30. Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их приложение к решению задач.
31. Система аксиом Вейля трехмерного евклидова пространства и ее содержательная непротиворечивость.
32. Движения плоскости и их свойства. Группа движений плоскости. Теорема существования и единственности движения.
33. Проективная плоскость и ее модели. Проективные преобразования, их свойства. Группа проективных преобразований.
34. Преобразования подобия плоскости, их свойства. Группа преобразований подобия плоскости и ее подгруппы.
35. Гладкие поверхности. Первая квадратичная форма поверхности и ее приложения.
36. Параллельное проектирование и его свойства. Изображение плоских и пространственных фигур в параллельной проекции.
37. Гладкие линии. Кривизна пространственной кривой и ее вычисление.
38. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Канонические уравнения.
39. Директориальное свойство эллипса, гиперболы и параболы. Полярные уравнения.
40. Двойное отношение четырех точек прямой, его свойства и вычисление. Гармоническая разделенность пар точек. Полный четырехугольник и его свойства. Приложение к решению задач на построение.
41. Теоремы Паскаля и Брианшона. Полюсы и поляры.
Примерные вопросы по математическому анализу
Как известно, множество натуральных чисел можно упорядочить при помощи отношения «меньше». Но правила построения аксиоматической теории требуют, чтобы это отношение было не только определено, но и сделано это на основе уже определенных в данной теории понятий. Сделать это можно, определив отношение «меньше» через сложение.
Определение. Число а меньше числа b (а < b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
При этих условиях говорят также, что число b больше а и пишут b > а.
Теорема 12. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех отношений: а = b, а > b , а < b.
Доказательство этой теоремы мы опускаем . Из этой теоремы вытекает, что если
а ¹ b, то либо а < b, либо а > b, т.е. отношение «меньше» обладает свойством связанности.
Теорема 13. Если а < b и b < с. то а < с.
Доказательство. Эта теорема выражает свойство транзитивности отношения «меньше».
Так как а < b и b < с. то, по определению отношения «меньше», найдутся такие натуральные числа к и /, что b = а + к и с = b + I. Но тогда с = (а + к) + / и на основания свойства ассоциативности сложения получаем: с = а + (к + /). Поскольку к + I - натуральное число, то, согласно определению «меньше», а < с.
Теорема 14 . Если а < b, то неверно, что b < а. Доказательство. Эта теорема выражает свойство антисимметричности отношения «меньше».
Докажем сначала, что ни для одного натурального числа а не вы-!>! ■ )ея отношение а < а. Предположим противное, т.е. что а < а имеет место. Тогда, по определению отношения «меньше», найдется такоенатуральное число с, что а + с = а, а это противоречит теореме 6.
Докажем теперь, что если а < b , то неверно, что b < а. Предположим противное, т.е. что если а < b , то b < а выполняется. Но из этих равенств по теореме 12 имеем а < а, что невозможно.
Так как определенное нами отношение «меньше» антисимметрично и транзитивно и обладает свойством связанности, то оно является отношением линейного порядка, а множество натуральных чисел линейно упорядоченным множеством.
Из определения «меньше» и его свойств можно вывести известные свойства множества натуральных чисел.
Теорема 15. Из всех натуральных чисел единица является наименьшим числом, т.е. I < а для любого натурального числа а¹1.
Доказательство. Пусть а - любое натуральное число. Тогда возможны два случая: а = 1 и а ¹ 1. Если а = 1, то существует натуральное число b, за которым следует а: а = b " = b + I = 1 + b , т.е., по определению отношения «меньше», 1 < а. Следовательно, любое натуральное равно 1 либо больше 1. Или, единица является наименьшим натуральным числом.
Отношение «меньше» связано со сложением и умножением чисел свойствами монотонности.
Теорема 16.
а = b => а + с = b + с и а с = b с;
а < b => а + с < b + с и ас < bс;
а > b => а + с > b + с и ас > bс.
Доказательство. 1) Справедливость этого утверждения вытекает из единственности сложения и умножения.
2) Если а < b,
то существует такое натуральное число k,
что а
+ k = b.
Тогда b
+ с = (а + к) + с = а + (к + с) = а + (с
+ к)
= (а + с) + к.
Равенство b
+ с = (а + с) + к
означает, что а + с < b
+ с.
Точно так же доказывается, что а < b => ас < bс.
3) Доказывается аналогично.
Теорема 17 (обратная теореме 16).
1) а + с = Ь + с или ас ~ Ьс- Þ а = Ь
2) а + с < Ь + с или ас < Ьс Þ а < Ь:
3) а + с > Ь + с или ас > Ьс Þ а > Ь.
Доказательство. Докажем, например, что из ас < bс следует а < b Предположим противное, т.е. что заключение теоремы не выполняется. Тогда не может быть, что а = b. так как тогда бы выполнялось равенство ас = bс (теорема 16); не может быть и а > b, так как тогда бы ас > bс (теорема!6). Поэтому, согласно теореме 12, а < b.
Из теорем 16 и 17 можно вывести известные правила почленного сложения и умножения неравенств. Мы их опускаем.
Теорема 18 . Для любых натуральных чисел а и b ; существует такое натуральное число n, что п b> а.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого а найдется такое число п , что п > а. Для этого достаточно взять п = а + 1. Перемножая почленно неравенства п > а и b > 1, получаем пb > а.
Из рассмотренных свойств отношения «меньше» вытекают важные особенности множества натуральных чисел, которые мы приводим без доказательства.
1. Ни для одного натурального числа а
не существует такого натурального числа п,
что а < п < а +
1. Это свойство называется свойством
дискретности
множества натуральных чисел, а числа а
и а +
1 называют соседними.
2.
Любое непустое подмножество натуральных чисел содержит
наименьшее число.
3. Если М
- непустое подмножество множества натуральных чисел
и существует такое число b,
что для всех чисел х из М
выполняется не
равенство х < b,
то в множестве М
есть наибольшее число.
Проиллюстрируем свойства 2 и 3 на примере. Пусть М - множество двузначных чисел. Так как М есть подмножество натуральных чисел и для всех чисел этого множества выполняется неравенство х < 100, то в множестве М есть наибольшее число 99. Наименьшее число, содержащееся в данном множестве М, - число 10.
Таким образом, отношение «меньше» позволило рассмотреть (и в ряде случаев доказать) значительное число свойств множества натуральных чисел. В частности, оно является линейно упорядоченным, дискретным, в нем есть наименьшее число 1.
С отношением «меньше» («больше») для натуральных чисел младшие школьники знакомятся в самом начале обучения. И часто, наряду с его теоретико-множественной трактовкой, неявно используется определение, данное нами в рамках аксиоматической теории. Например, учащиеся могут объяснить, что 9 > 7 так как 9 - это 7+2. Нередко и неявное использование свойств монотонности сложения и умножения. Например, дети объясняют, что «6 + 2 < 6 + 3, так как 2 < 3».
Упражнения
1, Почему множество натуральных чисел нельзя упорядочить при помощи отношения «непосредственно следовать за»?
Сформулируйте определение отношения а > b и докажите, что оно транзитивно и антисимметрично.
3. Докажите, что если а, b, с - натуральные числа, то:
а) а < b Þ ас < bс;
б) а + с < b + сÞ > а < Ь.
4. Какие теоремы о монотонности сложения и умножения могут
использовать младшие школьники, выполняя задание «Сравни, не выполняя вычислений»:
а) 27 + 8 ... 27 + 18;
б) 27- 8 ... 27 -18.
5. Какие свойства множества натуральных чисел неявно используют младшие школьники, выполняя следующие задания:
А) Запиши числа, которые больше, чем 65, и меньше, чем 75.
Б) Назови предыдущее и последующее числа по отношению к числу 300(800,609,999).
В) Назови самое маленькое и самое большое трехзначное число.
Вычитание
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.
Определение. Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а - b = с тогда и только тогда, когда b+с = а.
Число а - b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемым, ачисло b - вычитаемым.
Теорема 19. Разность натуральных чисел а - b существует тогда и только тогда, когда b < а.
Доказательство. Пусть разность а - b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b + с = а, а этозначит, что b < а.
Если же b < а, то, по определению отношения «меньше», существует такое натуральное число с, что b + с = а. Тогда, по определению разности, с = а - b, т.е. разность а - b существует.
Теорема 20. Если разность натуральных чисел а и b существует, то она единственна.
Доказательство. Предположим, что существует два различных значения разности чисел а и b ;: а – b = с₁ и а - b = с₂ , причем с₁ ¹ с₂ . Тогда по определению разности, имеем: а = b + с₁, и а = b + с₂ : . Отсюда следует, что b + с ₁ = b + с₂ : и на основании теоремы 17 заключаем, с₁ = с₂.. Пришли к противоречию с допущением, значит, оно неверное, а верна данная теорема.
Исходя из определения разности натуральных чисел и условия ее существования, можно обосновать известные правила вычитания числа из суммы и суммы из числа.
Теорема 21 . Пусть а. b и с - натуральные числа.
а) Если а > с, то (а + b) - с = (a - с) + b.
б) Если b > с. то (а + b) - с - а + (b - с).
в) Если а > c и b > с.
то можно использовать любую из данных формул.
Доказательство. В случае а) разность чисел а
и c
существует, так как а > с.
Обозначим ее через х: а - с = х.
откуда а = с + х
. Если (а
+ b) - с = у.
то, по определению разности, а
+ b
= с
+ у
. Подставим в это равенство вместо а
выражение с + х
: (с + х) + b = с + у.
Воспользуемся свойством ассоциативности сложения: с + (х + b) = с
+ у
. Преобразуем это равенство на основе свойства монотонности сложения, получим:
х + b = у. .Заменив в данном равенстве х на выражение а - с, будем иметь (а - г) + b = у. Таким образом, мы доказали, что если а > с, то (а + b) - с = (a - c) + b
Аналогично проводится доказательство и в случае б).
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила, удобного для запоминания: дли того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.
Теорема 22. Пусть а, b и с - натуральные числа. Если а > b + с, то а - (b + с) = (а - b) - с или а - (b + с) = (а - c) - b.
Доказательство этой теории аналогично доказательству теоремы 21.
Теорему 22 можно сформулировать в виде правила, для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.
В начальном обучении математике определение вычитания как действия, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с выполнения действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Вычитая, например, из числа 40 число 16, учащиеся рассуждают так: «Вычесть из 40 число 16 - что значит найти такое число, при сложении которого с числом 16 получается 40; таким числом будет 24, так как 24 + 16 = 40. Значит. 40 - 16 = 24».
Правила вычитания числа из суммы и суммы из числа в начальном курсе математики являются теоретической основой различных приемов вычислений. Например, значение выражения (40 + 16) - 10 можно найти, не только вычислив сумму в скобках, а затем вычесть из нее число 10, но и таким образом;
а) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
б) (40 + 16) - 10 = 40 +(16- 10) = 40 + 6 = 46.
Упражнения
1. Верно ли, что каждое натуральное число получается из непосредственно следующего вычитанием единицы?
2. В чем особенность логической структуры теоремы 19? Можно ли ее сформулировать, используя слова «необходимо и достаточно»?
3. Докажите, что:
а) если b > с, то (а + b) - с = а + (b - с );
б) если а > b + с , то а - (b + с) = (а - b) - с.
4.Можно ли, не выполняя вычислений, сказать, значения каких выражений будут равны:
а) (50 + 16)- 14; г) 50 + (16 -14),
б) (50 - 14) + 16; д) 50 - (16 - 14);
в) (50 - 14) - 16, е) (50 + 14) - 16.
а) 50 - (16 + 14); г) (50 - 14) + 16;
б) (50 - 16) + 14; д) (50 - 14) - 16;
в) (50 - 16) - 14; е) 50 - 16- 14.
5. Какие свойства вычитания являются теоретической основой следующих приемов вычислении, изучаемых в начальном курсе математики:
12 - 2-3 12 -5 = 7
б) 16-7 = 16-6 - П;
в) 48 - 30 = (40 + 8} - 30 = 40 + 8 =18;
г) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Опишите возможные способы вычисления значения выражения вида. а - b - с и проиллюстрируйте их на конкретных примерах.
7. Докажите, что при b < а и любых натуральных c верно равенство (a – b) с = ас - bс.
Указание. Доказательство основывается на аксиоме 4.
8. Определите значение выражения, не выполняя письменных вычислений. Ответы обоснуйте.
а) 7865 × 6 – 7865 ×5: б) 957 × 11 - 957; в) 12 × 36 – 7 × 36.
Деление
При аксиоматическом построении теории натуральных чисел деление обычно определяется как операция, обратная умножению.
Определение. Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а: b = с тогда и только тогда, когда b × с = а.
Число а:b называется частным чисел а и b, число а делимым, число b - делителем.
Как известно, деление на множестве натуральных чисел существует не всегда, и такого удобного признака существования частного, какой существует для разности, нет. Есть только необходимое условие существования частного.
Теорема 23. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b , необходимо, чтобы b < а.
Доказательство. Пусть частное натуральных чисел а и b существует, т.е. есть такое натуральное число c, что bс = а. Так как для любого натурального числа 1 справедливо неравенство 1 £ с, то, умножив обе его части на натуральное число b , получим b £ bс. Но bс = а, следовательно, b £ а.
Теорема 24. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы о единственности разности натуральных чисел.
Исходя из определения частного натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила деления суммы (разности, произведения) на число.
Теорема 25. Если числа а и b делятся на число с, то и их сумма а + b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число с, равно сумме частных, получаемых при делении а на с и b на с , т.е. (а + b) :с = а:с + b :с.
Доказательство. Так как число а делится на с, то существует такое натуральное число х = а; с, что а = сх. Аналогично существует такое натуральное число у = b :с, что
b = су. Но тогда а + b = сх + су =- с(х + у). Это значит, что а + b делится на c, причем частное, получаемое при делении суммы а + b на число c, равно х + у, т.е. ах + b: с.
Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила деления суммы на число: для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить.
Теорема 26. Если натуральные числа а и b делятся на число с и а > b, то разность а - b делится на c, причем частное, получаемое при делении разности на число c, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на c, т.е. (а - b):с = а: с - b:с.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы.
Эту теорему можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.
Теорема 27. Если натуральное число а делится на натуральное число с, то для любого натурального числа b произведение аb делится на с. При этом частное, получаемое при делении произведения аb на число с, равно произведению частного, получаемого при делении а на с, ичисла b: (а × b):с - (а:с) × b.
Д о к азательство. Так как а делится на с, то существует такое натуральное число х, что а:с = х, откуда а = сх. Умножив обе части равенства на b, получим аb = (сх)b. Поскольку умножение ассоциативно, то (сх) b = с(х b). Отсюда (а b):с = х b= (а:с) b. Теоремуможно сформулировать в виде правила деления произведения на число: для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.
В начальном обучении математике определение деления как операции обратной умножению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно пользуются, начиная с первых уроков ознакомления с делением. Учащиеся должны хорошо понимать, что деление связано с умножением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. Выполняя деление, например, 48 на 16, учащиеся рассуждают так: «Разделить 48 на 16 - это значит найти такое число, при умножении которого на 16 получится 48; таким числом будет 3, так как 16×3 = 48. Следовательно, 48: 16 = 3.
Упражнения
1. Докажите, что:
а) если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно;
б) если числа а и b
делятся на с
и а > b,
то (а - b): с = а: с - b: с.
2. Можно ли утверждать, что все данные равенства верные:
а) 48:(2×4) = 48:2:4; б) 56:(2×7) = 56:7:2;
в) 850:170 =850:10:17.
Какое правило является обобщением данных случаев? Сформулируйте его и докажите.
3. Какие свойства деления являются теоретической основой для
выполнения следующих заданий, предлагаемых школьникам начальных классов:
можно ли, не выполняя деления, сказать, значения каких выражений будут одинаковыми:
а) (40+ 8):2; в) 48:3; д) (20+ 28):2;
б) (30 + 16):3; г)(21+27):3; е) 48:2;
Верны ли равенства:
а) 48:6:2 = 48:(6:2); б) 96:4:2 = 96:(4-2);
в) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Опишите возможные способы вычисления значения выражения
вида:
а) (а + b):с; б) а : b : с; в) (а × b) : с .
Предложенные способы проиллюстрируйте на конкретных примерах.
5. Найдите значения выражения рациональным способом; свои
действия обоснуйте:
а) (7× 63):7; в) (15× 18):(5× 6);
б) (3× 4× 5): 15; г) (12 × 21): 14.
6. Обоснуйте следующие приемы деления на двузначное число:
а) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 =50 + 3 = 53;
б) 882:18 = (900 - 18): 18 = 900:18 - 18:18 = 50 - 1 =49;
в) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
г) (560 × 32): 16 = 560(32:16) = 560×2 = 1120.
7. Не выполняя деления уголком, найдите наиболее рациональным
способом частное; выбранный способ обоснуйте:
а) 495:15; в) 455:7; д) 275:55;
6) 425:85; г) 225:9; е) 455:65.
Лекция 34.Свойства множества целых неотрицательных чисел
1. Множество целых неотрицательных чисел. Свойства множества целых неотрицательных чисел.
2. Понятие отрезка натурального ряда чисел и счета элементов конечного множества. Порядковые и количественные натуральные числа.
Отрезком N натурального ряда называется множество натуральных чисел, не превосходящих натурального числа а, т.е N = {х|х N и х а}.
Например, N это множество натуральных чисел, не превосходящих 7, т.е. N ={1,2,3,4,5,6,7}.
Отметим два важнейших свойства отрезков натурального ряда:
1) Любой отрезок N содержит единицу. Это свойство вытекает из определения отрезка натурального ряда.
2) Если число х содержится в отрезке N и х а, то непосредственно следующее за нми число х+1 также содержится в N .
Множество А называется конечным, если оно равномощно некоторому отрезку N натурального ряда. Например, множество А вершин треугольника, множество В букв в слове «мир» конечные множества, т.к. они равномощны отрезку N = {1,2,3}, т.е. А~B~ N .
Если непустое конечное множество А равномощно отрезку N , то натуральное число а называют числом элементов множества А и пишут n(A) = a. Например, если А – множество вершин треугольника, то n(A) = 3.
Всякое непустое конечное множество равномощно одному и только одному отрезку натурального ряда, т.е.каждому конечному множеству А может быть поставлено в соответствие однозначно определенное число а, такое, что множество А взаимно однозначно отображается на отрезок N .
Установление взаимно-однозначного соответствия между элементами непустого конечного множества А и отрезком натурального ряда называется счетом элементов множества А. Так как любому непустому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, то вся совокупность конечных множеств разбивается на классы равномощных множеств. В одном классе будут содержаться все одноэлементные множества, в другом – двухэлементные и т.д. И это число можно рассматривать как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Таким образом, с теоретико-множественной точки зрения, натуральное число – это общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Число 0 тоже имеет теоретико-множественное истолкование – оно ставится в соответствие пустому множеству: n() = 0.
Итак, натуральное число а как характеристику количества можно рассматривать с двух позиций:
1) как число элементов в множестве А, получаемое при счете;
2) как общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Установленная связь между конечными множествами и натуральными числами позволяет дать теоретико-множественное истолкование отношения «меньше».
Если а = n(А), b = n(B), то число а меньше числа b тогда и только тогда, когда множество А равномощно собственному подмножеству множества В, т.е. А~В, где В В, В В, В (рис.1) . Либо когда отрезок натурального ряда N является собственным подмножеством отрезка N , т.е. N N .
Числа а и b равны, если они определяются равномощными множествами: а = k А~B , где n(A) = a, n (B) = k. Например, 2 = 2, т.к. n(А) = 2, n(B) = 2, А = {a, b}, B = {z, x}, A~B.
Свойства отношения «меньше» для натуральных чисел также получают теоретико-множественное истолкование: транзитивность и антисимметричность этого отношения связаны с тем, что транзитивно и антисимметрично отношение «быть подмножеством».
Покажем, используя теоретико-множественную трактовку отношения «меньше» для натуральных чисел, что 2
Возьмем множество А, содержащее 2 элемента и множество В, содержащее 5 элементов, т.е. n(А) = 2, n(B) = 5. Например, А = {a, b}, B = {c, d, e, f, r}. Из множества B можно выделить подмножество В, равномощное множеству А: например В ={c, d} и А~В. Согласно определению отношения «меньше», 2
Справедливость данного неравенства вытекает и из того, что N
Данное неравенство можно рассмотреть на рисунке 2. Пусть 2 – это число кружков, а 5 – число квадратов. Если наложить кружки на квадраты, то увидим, что часть квадратов осталось незакрытыми.
Значит, количество кружков меньше количества квадратов, т.е. 2
Теоретико-множественный смысл неравенства 0
Сравнение чисел в начальном курсе математики осуществляется различными способами – оно основано на всех рассмотренных нами подходах к трактовке отношения «меньше».
Натуральное число - это число, используемое при счете предметов. Оно возникло из практических нужд человека. Развитие понятия натурального числа можно разделить на несколько этапов: 1. древние люди, чтобы сравнивать множество, устанавливали соответствия: например, столько же, сколько пальце на руке. Недостаток - сравниваемые множества должны были быть одновременно обозримы. 2. Множество - посредники, например, камни, ракушки, палочки. Понятие о числе еще не сложено. И числа привязаны к конкретным предметам. 3. Появление числа (Обозначение числа в виде цифр). Зарождение арифметики. Арифметика как наука зародилась в странах Древнего Востока - Китай, Индия, Египет, дальнейшее развитие в Греции. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый Боэций. Счет необходим для определения количества множества. Разобьем все количественные множества на классы эквивалентности, например, в один класс экв. войдут множества вершин треугольников, сторон квадрата, множество букв в слове мир. Если продолжить этот процесс, то в силу того, что в отношении эквивалентности - все равномощное отношение. Конечные множества окажутся по классам. Т.о. теоретико - множественный смысл количественного натурального числа - есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Каждому классу соответствует свое количественное число. Нуль ставится в соответствии пустому множеству.
Числа А и В называются равными, если они определяются равномощными множествами.
Такой способ применяется в начальных классах.
Методика работы над задачами, раскрывающими конкретный смысл арифметических действий.
Арифметические задачи в курсе математики занимают значительное место. Почти половина времени на уроках математики отводится решению задач. Это объясняется их большой воспитательной и образовательной ролью, которую они играют при обучении детей. Решение арифметических задач помогает раскрыть основной смысл арифметических действий, конкретизировать их, связать с определенной жизненной ситуацией. Задачи способствуют усвоению математических понятий, отношений, закономерностей. При решении задач у детей развивается произвольное внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. Решение задач способствует развитию таких процессов познавательной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, обобщение.
В процессе решения арифметических задач учащиеся учатся, планировать и контролировать свою деятельность, овладевать приёмами, самоконтроля (проверка задачи прикидка задач и т.д.) у них воспитывается настойчивость, воля, развивается интерес к поиску решения задачи. Велика роль решения задач в подготовке детей к жизни, к их дальнейшей трудовой деятельности. При решении сюжетных задач учащиеся учатся переводить отношения между предметами и величинами на «язык математики». В арифметических задачах используется числовой материал, отражающий успехи страны в различных отраслях народного хозяйства, культуры, науки и т.д. Это способствует расширению кругозора учащихся, обогащению их новыми знаниями об окружающей действительности. Умением решать арифметические задачи учащиеся овладевают с большим трудом.
Причины ошибочных решений задач детьми кроются в первую очередь в особенностях их мышления. В процессе обучения решению задач следует избегать натаскивания в решении задач определенного вида, надо учить сознательному подходу к решению задач, учить ориентироваться в определенной жизненной ситуации, описанной в задаче, учить осознанному выделению данных задачи, осознанному выбору действий. В процессе работы над любой арифметической задачей можно выделить следующие этапы:
1. Работа над содержанием задачи.
2. Поиск решения задачи.
3. Решение задачи.
4. Формулировка ответа.
5. Проверка решения задачи.
6. Последующая работа над решенной задачей.
Большое внимание следует уделять работе над содержанием задачи, т.е. над осмыслением ситуации изложенной в задаче, установлением зависимости между данными и искомым. Последовательность работы над усвоением содержания задачи;
а) разбор непонятных слов или выражений;
б) чтение текста задачи учителем и учащимся;
в) запись условия задачи;
г) повторение задачи по вопросам.
Выразительному чтению текста задачи следует учить учеников. Нужно помнить, что детей специально надо учить выразительному чтению, они не могут самостоятельно правильно прочитать задачу, не могут расставить логические ударения и т.д.
Наряду с конкретизацией содержания задачи с помощью предметов, трафаретов и рисунков в практике работы учителей в школах широкое распространение получили следующие формы записи содержания задачи:
1. Сокращенная форма записи, при которой из текста задачи выписывают числовые данные и только те слова и выражения, которые необходимы для.понимания логического смысла задачи.
2. Сокращенно-структурная форма записи, при которой каждая логическая часть задачи записывается с новой строки.
3. Схематическая форма записи.
4. Графическая форма записи.
Так как функция контроля у детей ослаблена, то проверка решения задачи имеет не только образовательное, но и воспитательное значение. В младших классах необходимо:
1. Проверить словесно сформулированные задачи, производя действие над предметами.
2. Проверять реальность ответа.
3. Проверять соответствие ответа условию и вопросу задачи. Проверка решение задачи другим способам её решения возможно с 4 класса.
Для контроля правильности решения задачи используется и некоторые элементы программированного обучения. Этот элемент очень полезен тем, что ученик сразу получает подкрепление правильности или, наоборот, ошибочности своих действий. При ошибочности решения он ищет новые пути решения.
Учитель в школе зачастую не может быть уверенным, что решение задачи понято всеми учениками. Поэтому очень полезно провести работу по закреплению решения этой задачи. Работа по закреплению решения задачи может быть проведена различными приемами.
1. Ставятся узловые вопросы по содержанию задачи.
2. Предлагается рассказать весь ход решения задачи с обоснованием выбора действий.
3. Ставятся вопросы к отдельным действиям или вопросам. Для учащихся важно не количество решенных аналогичных задач, а понимание предметной ситуации в зависимости между данными. Этой цели и служит последующая работа над решенной задачей, которую можно рассматривать как важный прием формирующий навыки решения задач данного вида. Лучшему пониманию предметного содержание задач, зависимости между данными и искомыми способствует решение задач с лишними или недостающими числовыми данными, записанными не числами, а словами. Наблюдения показывают, что лучшие учителя широко используют как один из приемов обучения решению задач составление задач самими учащимися.
Составление задач помогает детям лучше осознать жизненно-практическую значимость задачи, глубже понять её структуру, а также различать задачи различных видов, осознать приемы их решения. Составление задач проводится параллельно с решением готовых задач. Опыт и наблюдение показывают, что легче всего для учащихся частичное составление задач. Следует стимулировать составление учащимися задач с разнообразными фабулами. Это способствует развитию их воображение смекалки, инициативы. Очень полезно, когда для составления задач учащиеся привлекают материал «добываемый» ими во время экскурсий, из справочников, газет, журналов и т.д. Учащихся старших классов необходимо учить заполнять и писать деловые документы, связанные с теми или иными расчетами. Например, написать доверенность, заполнить бланк на денежный перевод и т.д. Все, указанные выше приемы могут быть широко использованы при решении всех видов задач.
Простой арифметической задачей называется задача, которая решается одним арифметическим действием. Простые задачи играют чрезвычайную роль при обучении учащихся математики. Именно простые задачи позволяют раскрыть основной смысл и конкретизировать арифметические действия, сформировать те или иные математические понятия. Простые задачи являются составной частью сложных задач, а следовательно, формируя умение решать их, учитель готовит учащихся к решению сложных задач.
На каждом учебном году обучения учащиеся знакомятся с новыми видами простых задач. Постепенное введение их объясняется различной степенью трудности математических понятий, местом изучения тех арифметических действий, конкретный смысл которых они раскрывают. Не менее пристального внимания учителя при выборе задач данного вида заслуживает и конкретизация и содержание. Наконец учитель учит конкретизировать содержание задачи, вскрывая зависимость между данными и искомыми с помощью различных форм краткой записи.
Опыт работы лучших учителей показывает, что подготовку к решению арифметических задач следует начинать с обогащения и развития практического опыта учащихся, ориентировки их в окружающей действительности. Учеников нужно вести в ту жизненную ситуацию, в которой приходится считать, решать арифметические задачи, производить изменения. Причем эти ситуации не следует на первых порах создавать искусственно, на них лишь следует обратить и направлять внимание учащихся. Учитель организует наблюдение над изменением количества элементов предметных множеств содержимого сосудов и т. д., что способствует развитию представлений учащихся о количестве к знакомству их с определенной терминологией, которая впоследствии встретится при словесной формулировке задач: стало, всего осталось, взяли, увеличилось, уменьшилось и т.д. Надо организовать так игровую и практическую деятельность учащихся, чтобы, являясь непосредственными участниками этой деятельности, а также наблюдая, учащиеся сами могли делать вывод в каждом отдельном случае; увеличилось или уменьшилось число элементов множества и какой операцией и словесному выражению соответствует это увеличение или уменьшение. Этот этап подготовительной работы совпадает с началом работы над числами первого десятка и знакомства с арифметическими действиями, с решением и составлением примеров операций с предметными множествами.
Прежде чем приступить к обучению решения арифметических задач, учитель должен ясно себе представить, какие знания, умения и навыки нужно дать ученикам. Чтобы решить задачу, ученики должны решать арифметические примеры, слушать, а затем читать задачу, повторять задачу по вопросам, по краткой записи, по памяти, выделять в задаче составные компоненты, решать задачу и проверять ее правильность решения. В 1 классе учащиеся учатся решать задачи на нахождение суммы и остатка. Эти задачи вводятся впервые при научении чисел первого десятка. При обучении решению задач на нахождение суммы одинаковых слагаемых, на деление на равные части или на деление по содержанию, следует опираться на понимание учащимися сущности арифметических действий умножения и деления. До решения задачи на разное сравнение учащимися нужно дать понятие о сравнение предметов одной совокупности, двух предметных совокупностей, величин, чисел, устанавливая между ними отношения равенства и неравенства. Составной или сложной арифметической задачей называется задача, которая решается двумя или большим числом арифметических действий. Психологические исследования по изучению особенностей решения составных арифметических задач показывают, что дети не узнают знакомых простых задач в контексте новой составной задачи. Подготовительная работа к решению составных задач должна представить собой систему упражнений, приемов, целенаправленно ведущих учащихся к овладению решением составных задач. К решению составных задач учитель может переходить тогда, когда убедится, что учащиеся овладели приемами решения простых задач, которые войдут в составную задачу, сами могут составить простую задачу определенного вида. При решении составных задач учащиеся должны или к данным ставить вопросы или к вопросу подбирать данные. Поэтому в подготовительный период, т.е. на протяжении всего первого года и в начале второго года обучения, следует предлагать учащимся задания:
1. К готовому условию подобрать вопросы.
2. По вопросу составить задачу, подобрав недостающие числовые данные.
Составляя простые и составные задачи, учащиеся постепенно научатся узнавать в составной задаче простые, уже бывшие в опыте их решения очень полезны упражнения на составления сложных задач. Это будет способствовать лучшему усвоению видов простых задач, умению их узнавать вычленить в составной задаче, поможет учащимся более сознательно осуществлять анализ задач. При решении составных задач учащихся следует научить общим приемам работы над задачей; умению анализировать содержание задачи, выделяя известные данные, искомое (т.е. устанавливая, что нужно узнать в задаче), определите, каких данных не достает для ответа на главный вопрос в задаче. В практике работы школы оправдал себя, прием работы с карточками, заданиями в которых излагается последовательность работы над задачей. При решении задач оформление ее решения записывается с вопросами или записывается каждое действие и поясняется. Выработка обобщенного способа решения задач данного вида обеспечивается многократным решением задач с разнообразными видами, фабулами, решением готовых и составленных самими учащимися задач, сравнением задач данного вида с ранее решавшимися видами задач и т. д.
1. Объясните вычислительный прием для случаев 40+20, 50-30 ,34+20, 34+2, 48-30, 48-3 все вычислительные приемы из концентра сотня.
1) 40+20= 4д+2д=6д=60
2) 50-30 = 5д-3д=2д=20
3) 34+20= 3д+4ед+2д=5д 4ед=54
4) 34+2 = 3д+4ед+2ед=3д 6ед=36
5) 48-30 = 4д+8ед-3д=1д 8ед= 18
6) 48-3= 4д+8ед-3ед=4д 5ед=45
Все приемы вычисления устные и выполняются на основе по разрядам сложения и вычитания.
Теоремы о “наибольшем“ и “наименьшем“ целом числе
Теорема 4 (о ”наименьшем” целом числе). Всякое непустое, ограниченное снизу множество целых чисел соДержит наименьшее уисло. (Здесь, как и в случае натуральных чисел, слово ” множество“ используется вместо слова ”подмножество“ Э
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть О А С Z и А ограничено снизу, т.е. 36 ? ZVa ? А(Ь < а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Пусть теперь Ь А.
Тогда Уа е Аф < а) и, значит, Уа А(а - Ь > О).
Образуем множество М всех чисел вида а - Ь, где а пробегает множество А, т.е. М = {с [ с = а - Ь, а Е А}
Очевидно, что множество М не пусто, поскольку А 74 0
Как отмечено выше, М С N . Следовательно, по теореме н а т у р ал ь н о м ч и с л е (54, гл.Ш) во множестве М существует наименьшее натуральное число т. Тогда т = а1 - Ь для некоторого числа а1 ? А, и, поскольку т наименьшее в М, то Уа? А(т < а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Теорема 5 (о “ наибольшем“ целом числе). Всякое непустое, ограниченное сверсу множество целыс чисел соДержит наибольшее число.
Д о к аз а те ль с т во. Пусть О 74 А С Z и А ограничено сверху числом Ь, т.е. ? ZVa е А(а < Ь). Тогда -а > Ь для всех чисел а? А.
Следовательно, множество М {с г = -а, а? А} не пусто и ограничено снизу числом (-6). Отсюда по предыдущей теореме во множестве М сицествует наименьшее число, т.е. ас? МУс? М (с < с).
Это означает, что Уа? А(с < -а), откуда Уа? А(-с > а)
З. Различные формы метода математической индукции для целых чисел. Теорема о делении с остатком
Теорема 1 (первая форма метода математической индукции). Пусть Р(с) - оДноместныб преДикат, опреДеленный на множестве Z целых чисе., 4 . ТогДа если Для некоторого ЧИСЛа а Z преДложение Р(о) и Для произвольного целого числа К > а из Р(К) слеДует Р(К -4- 1), то преДложение Р(г) справеДлиео Для всес целы,т чисел с > а (т.е. на множестве Z является истинной следующая формула исчисления предикатов:
Р(а) лук > + 1)) Ус > аР(с)
для любого фиксированного целого числа а
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для предложения Р (с) верно все, о чем говорится в условии теоремы, т.е.
1) Р(а) - истинно;
2) УК Щ к + также истинно.
От противного. Предположим, что найдется такое число
Ь > а, что РФ) - ложно. Очевидно, что Ь а, поскольку Р (а) истинно. Образуем множество М = {z ? > а, P(z)- ложно}.
Тогда множество М 0 , поскольку Ь? М и М- ограничено снизу числом а. Следовательно, по теореме о н а и м е н ьш е м ц е л о м ч и с л е (теорема 4, 2) во множестве М существует наименьшее целое число с. Отсюда с > а, что, в свою очередь, влечет с - 1 > а.
Докажем, что Р(с-1) - истинно. Если с-1 = а, то Р (с- 1) истинно в силу условия.
Пусть с- 1 > а. Тогда предположение, что Р(с- 1) - ложно, влечет принадлежность с 1 ? М, чего не может быть, поскольку число с- наименьшее во множестве М.
Таким образом, с - 1 > а и Р(с - 1) - истинно.
Отсюда в силу условия данной теоремы предложение Р((с- 1) + 1) - истинно, т.е. Р(с) - истинно. Это противоречит выбору числа с, поскольку с? М Теорема доказана.
Заметим, эта теорема обобщает следствие 1 из аксиом Пеано.
Теорема 2 (вторая форма метода математической индукции для целых чисел). Пусть Р(с) - некоторый оДноместный преДшсатп, опреДеленньи) на множестве Z целыс чисел. ТогДа если преЭложение Р (с) справеДливо Для некоторого целого числа К и Для произвольного Цело го числа s К из справеДливости преДложения Р(с) Для всес целых чисел, уДовлетворяющис неравенству К < с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с > К.
Доказательство этой теоремы во многом повторяет доказательство аналогичной теоремы для натуральных чисел (теорема 1, 55, гл.Ш).
Теорема З (третья форма метода математической индукции). Пусть Р(с) - оДноместньиЈ преДикат, опреДеленный на множестве Z целыс ЧИСи. ТогДа если Р(с) истинно Для всес чисел некоторого бесконечного поДмножества М множества натуральных чисел и Для произвольного целого числа а из истинности Р(а) слеДует истинность Р (а - 1) , то преДложение Р(с) справеДливо Для всес целыс чисел.
Доказательство аналогично доказательству соответствукощей теоремы для натуральных чисел.
Предлагаем его в качестве интересного упражнения.
Заметим, что в практике применения третья форма математической индукции встречается реже, чем остальные. Это объясняется тем, что для ее применения необходимо знать бесконечное подмножество М множества натуральных чисел“ , о котором говорится в теореме. Нахождение такого множества может оказаться нелегкой задачей.
Но преимущество третьей формы перед остальными заключается в том, что с ее помощью предложение Р(с) доказывается Для всес целыс чисел.
Ниже мы приведем интересный пример применения третьей формы“ . Но сначала дадим одно очень важное понятие.
Определение. Абсолютной величиной целого числа а называется число, опреДеленное по правилу
0, если а О а, если а > О
А, если а < 0.
Таким образом, если а 0 , то ? N.
Предлагаем читателю в качестве упражнения доказать следующие свойства абсолютной величины:
Теорема (о делении с остатком). Для любыс целыс чисел а и Ь, где Ь 0, существует и притом только одна пара чисел q U т таких, что а г: bq+T Л Д.
Д о к аз а т е л ь с т в о.
1. Существование пары (q, т).
Пусть а, Ь? Z и 0. Покажем, что существует пара чисел q и, удовлетворяющих условиям
Доказательство проведем индукцией в третьей форме по числу а при фиксированном числе Ь.
М = {mlm= n lbl,n? N}.
Очевидно, что М С лт отображение f: N М, определенное по правилу f(n) = nlbl для любого п? N, является биекцией. Это означает, что М N, т.е. М- бесконечно.
Докажем, что для произвольного числа а? М (и Ь- фикси рованного) утверждение теоремы о существовании пары чисел q и т верно.
Действительно, пусть а (- М. Тогда а пф! для некоторого п? N.
Если Ь > 0, то а = пь + О. Полагая теперь q = п и т О, получаем требуемую пару чисел q и т. Если же Ь < 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Сделаем теперь инДуктпиеное преДположение. Допустим, что для произвольного целого числа с (и произвольного фиксированного Ь 0) утверждение теоремы верно, т.е. существует пара чисел (q, т) такая, что
Докажем, что оно верно и для числа (с 1) . Из равенства с = bq -4- следует bq + (т - 1). (1)
Возможны случаи.
1) т > 0. Тогда 7" - 1 > 0. В этом случае, положив - т - 1, получим с - 1 - bq + Tl, где пара (q, 7"1,) очевидно удовлетворяет условию
0. Тогда с - 1 bq1 + 711 , где q1
Без труда докажем, что 0 < < Д.
Таким образом, утверждение верно и для пары чисел
Первая часть теоремы доказана.
П. ЕДинственность пары q и т.
Предположим, что для чисел а и Ь 0 существуют две пары чисел (q, т) и (q1, то, удовлетворяющие условиям (*)
Докажем, что они совпадают. Итак, пусть
и а bq1 Л О < Д.
Отсюда вытекает, что b(q1 -q) т- 7 1 1. Из этого равенства следует, что
Если теперь допустить, что q ql , то q - q1 0, откуда lq - q1l 1. Умножая эти неравенства почленно на число lbl, получим ф! - q11 Д. (3)
В то же время из неравенств 0 < т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
У п р а ж н е н и я:
1. Завершите доказательства теорем 2 и З из 5 1.
2. Докажите следствие 2 из теоремы З, 1.
3. Докажите, что подмножество Н С Z, состоящее из всех чисел вида < п + 1, 1 > (п? N), замкнуто относительно сложения и умножения.
4. Пусть Н означает то же множество, что и в упражнении 3. Докажите, что отображение ј : М удовлетворяет условиям:
1) ј - биекция;
2) ј(п + т) = ј(п) + j(m) и j(nm) = ј(п) j(m) для любых чисел п, т (т.е. ј осуществляет изоморфизм алгебр (N, 4, и (Н, + ,).
5. Завершите доказательство теоремы 1 из 2.
6. Докажите, что для любых целых чисел а, Ь, с справедливы импликации:
7. Докажите вторую и третью теоремы из З.
8. Докажите, что кольцо Z целых чисел не содержит делителей нуля.
Литература
1. Бурбаки Н. Теория множеств. М.: Мир, 1965.
2. ВинограДов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1972. З. ДемиДов И. Т. Основания арифметики. М.: Учпедгиз, 1963.
4. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. ОсНОвы теории групп.
М.: Наука, 1972.
5. Кострикин А. И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1994.
б. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высш. шк., 1979.
7. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1971.
8. Любецкий В. А. Основные понятия школьной математики. М.: Просвещение, 1987.
9. Ляпин ЕС. и др. Упражнения по теории групп. М.: Наука, 1967.
10. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970.
11. МенДельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1971.
12. Нечаев В. И. Числовые системы. М.: Просвещение, 1975.
13. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.. Наука, 1973.
14. Петрова В. Т. Лекции по алгебре и геометрии.: В 2 ч.
ЧЛ. М.: Владос, 1999.
15. Современные основы школьного курса математики Авт. кол: Виленкин Н.Я., Дуничев К.И., Каллтжнин ЛА Столяр А.А. М.: Просвещение, 1980.
16. Скорняков Л. А. Элементы алгебры. М.: Наука, 1980.
17. Стом Р.Р. Множество, логика, аксиоматические теории. М.; Просвещение, 1968.
18. Столяр А. А. Логическое введение в математику. Минск: ВЫШЭЙШ. шк., 1971.
19. Филиппов В. П. Алгебра и теория чисел. Волгоград: вгпи, 1975.
20. Френкел А., Бар-Хилел И. Основания теории множсств. М.: Мир, 1966.
21. Фукс Л. Частично упорядочные системы. М.: Мир, 1965.
Учебное изДание
Владимир Константинович Карташов
ВВОДНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ
Учебное пособие
Редакционная подготовка О. И. Молокановой Оригинал-макет подготовил А. П. Бощенко
„ПР 020048 от 20.12.96 г.
Подписано к печати 28.08.99 г. Формат 60х84/16. Печать офс. Бум. тип. М 2. Уел. печ. л. 8,2. Уч.-изд. л. 8,3. Тираж 500 экз. Заказ 2
Издательство «Перемена»
