Не мы выбираем математику своей профессией, а она нас выбирает.
Российский математик Ю.И. Манин
Уравнения с модулем
Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются уравнения, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких уравнений необходимо знать определение и основные свойства модуля. Естественно, что учащиеся должны иметь навыки решения уравнений такого типа.
Основные понятия и свойства
Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:
К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:
Отметим , что последние два свойства справедливы для любой четной степени.
Кроме того , если , где , то и
Более сложные свойства модуля , которые можно эффективно использовать при решении уравнений с модулями , формулируются посредством следующих теорем:
Теорема 1. Для любых аналитических функций и справедливо неравенство
Теорема 2. Равенство равносильно неравенству .
Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .
Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Уравнения , содержащие переменные под знаком модуля».
Решение уравнений с модулем
Наиболее распространенным в школьной математике методом решения уравнений с модулем является метод , основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным , однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. В этой связи учащиеся должны знать и другие , более эффективные методы и приемы решения таких уравнений. В частности , необходимо иметь навыки применения теорем , приведенных в настоящей статье.
Пример 1. Решить уравнение . (1)
Решение. Уравнение (1) будем решать «классическим» методом –методом раскрытия модулей. Для этого разобьем числовую ось точками и на интервалы и рассмотрим три случая.
1. Если , то , , , и уравнение (1) принимает вид . Отсюда вытекает . Однако здесь , поэтому найденное значение не является корнем уравнения (1).
2. Если , то из уравнения (1) получаем или .
Так как , то корень уравнения (1).
3. Если , то уравнение (1) принимает вид или . Отметим , что .
Ответ: , .
При решении последующих уравнений с модулем будем активно использовать свойства модулей с целью повышения эффективности решения подобных уравнений.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Так как и , то из уравнения следует . В этой связи , , , и уравнение принимает вид . Отсюда получаем . Однако , поэтому исходное уравнение корней не имеет.
Ответ: корней нет.
Пример 3. Решить уравнение .
Решение. Так как , то . Если , то , и уравнение принимает вид .
Отсюда получаем .
Пример 4. Решить уравнение .
Решение. Перепишем уравнение в равносильном виде . (2)
Полученное уравнение относится к уравнениям типа .
Принимая во внимание теорему 2, можно утверждать, что уравнение (2) равносильно неравенству . Отсюда получаем .
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Данное уравнение имеет вид . Поэтому , согласно теореме 3 , здесь имеем неравенство или .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Положим , что . Так как , то заданное уравнение принимает вид квадратного уравнения , (3)
где . Поскольку уравнение (3) имеет единственный положительный корень и , то . Отсюда получаем два корня исходного уравнения: и .
Пример 7. Решить уравнение . (4)
Решение. Так как уравнение равносильно совокупности двух уравнений: и , то при решении уравнения (4) необходимо рассмотреть два случая.
1. Если , то или .
Отсюда получаем , и .
2. Если , то или .
Так как , то .
Ответ: , , , .
Пример 8. Решить уравнение . (5)
Решение. Так как и , то . Отсюда и из уравнения (5) следует, что и , т.е. здесь имеем систему уравнений
Однако данная система уравнений является несовместной.
Ответ: корней нет.
Пример 9. Решить уравнение . (6)
Решение. Если обозначить , то и из уравнения (6) получаем
Или . (7)
Поскольку уравнение (7) имеет вид , то это уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем . Так как , то или .
Ответ: .
Пример 10. Решить уравнение . (8)
Решение. Согласно теореме 1 можно записать
(9)
Принимая во внимание уравнение (8), делаем вывод о том, что оба неравенства (9) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений
Однако по теореме 3 приведенная выше система уравнений равносильна системе неравенств
(10)
Решая систему неравенств (10) получаем . Так как система неравенств (10) равносильна уравнению (8), то исходное уравнение имеет единственный корень .
Ответ: .
Пример 11. Решить уравнение . (11)
Решение. Пусть и , тогда из уравнения (11) вытекает равенство .
Отсюда следует, что и . Таким образом, здесь имеем систему неравенств
Решением данной системы неравенств являются и .
Ответ: , .
Пример 12. Решить уравнение . (12)
Решение. Уравнение (12) будем решать методом последовательного раскрытия модулей. Для этого рассмотрим несколько случаев.
1. Если , то .
1.1. Если , то и , .
1.2. Если , то . Однако , поэтому в данном случае уравнение (12) корней не имеет.
2. Если , то .
2.1. Если , то и , .
2.2. Если , то и .
Ответ: , , , , .
Пример 13. Решить уравнение . (13)
Решение. Поскольку левая часть уравнения (13) неотрицательна, то и . В этой связи , и уравнение (13)
принимает вид или .
Известно , что уравнение равносильно совокупности двух уравнений и , решая которые получаем , . Так как , то уравнение (13) имеет один корень .
Ответ: .
Пример 14. Решить систему уравнений (14)
Решение. Так как и , то и . Следовательно, из системы уравнений (14) получаем четыре системы уравнений:
Корни приведенных выше систем уравнений являются корнями системы уравнений (14).
Ответ: ,, , , , , , .
Пример 15. Решить систему уравнений (15)
Решение. Так как , то . В этой связи из системы уравнений (15) получаем две системы уравнений
Корнями первой системы уравнений являются и , а из второй системы уравнений получаем и .
Ответ: , , , .
Пример 16. Решить систему уравнений (16)
Решение. Из первого уравнения системы (16) следует, что .
Так как , то . Рассмотрим второе уравнение системы. Поскольку , то , и уравнение принимает вид , , или .
Если подставить значение в первое уравнение системы (16) , то , или .
Ответ: , .
Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с решением уравнений , содержащих переменные под знаком модуля , можно посоветовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.
1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование , 2013. – 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: задачи повышенной сложности. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS , 2017. – 296 с.
Остались вопросы?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a < 0
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с < 0
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5 < 0, то уравнение не имеет корней;
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b< 0, решений не будет.
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8 < 0, то уравнение не имеет корней.
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1 < 0, а во втором x = ±7.
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Инструкция
Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х
Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >
Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 - b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.
Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.
Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.
Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
